Bài toán 1: Tìm (mathop {lim }limits_{x to {x_0}} f(x)) biết (f(x)) xác định tại ({x_0}).
Phương pháp:
- Nếu (f(x)) là hàm số cho bởi một công thức thì trị giá giới hạn bằng (f({x_0}))
- Nếu (f(x)) cho bởi nhiều công thức, lúc đó ta sử dụng điều kiện để hàm số sở hữu giới hạn (Giới hạn trái bằng giới hạn phải).
Ví dụ 1:
Tìm những giới hạn sau:
a) (mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{sin 2x + 3cos x + x}}{{2x + {{cos }^2}3x}})
b) (mathop {lim }limits_{x to 2} frac{{sqrt {{x^2} + 3} - 2x}}{{sqrt[3]{{x + 6}} + 2x - 1}})
Hướng dẫn:
a) Ta sở hữu: (mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{sin 2x + 3cos x + x}}{{2x + {{cos }^2}3x}} = frac{{sin 0 + 3cos 0 + 0}}{{2.0 + {{cos }^2}0}} = 3)
b) Ta sở hữu: (mathop {lim }limits_{x to 2} frac{{sqrt {{x^2} + 3} - 2x}}{{sqrt[3]{{x + 6}} + 2x - 1}} = frac{{sqrt {{2^2} + 3} - 2.2}}{{sqrt[3]{{2 + 6}} + 2.2 - 1}} = frac{{sqrt 7 - 4}}{5}).
Ví dụ 2:
Xét xem những hàm số sau sở hữu giới hạn tại những lăn tay ra hay ko? Nếu sở hữu hay tìm giới hạn đó?
a) (f(x) = left{ begin{array}{l}frac{{{x^2} + 3x + 1}}{{{x^2} + 2}}{rm{ lúc }}x < 1frac{{3x + 2}}{3}{rm{ lúc }}x ge 1end{array} right.) lúc (x to 1);
b) (f(x) = left{ begin{array}{l}2{x^2} + 3x + 1{rm{ lúc }}x ge 0 - {x^2} + 3x + 2{rm{ lúc }}x < 0end{array} right.) lúc (x to 0)
Hướng dẫn:
a) Ta sở hữu:(mathop {lim }limits_{x to {1^ + }} f(x) = mathop {lim }limits_{x to {1^ + }} frac{{3x + 2}}{3} = frac{5}{3}).
(mathop {lim }limits_{x to {1^ - }} f(x) = mathop {lim }limits_{x to {1^ - }} frac{{{x^2} + 3x + 1}}{{{x^2} + 2}} = frac{5}{3} Rightarrow mathop {lim }limits_{x to {1^ + }} f(x) = mathop {lim }limits_{x to {1^ - }} f(x) = frac{5}{3}).
Vậy(mathop {lim }limits_{x to 1} f(x) = frac{5}{3}).
b) Ta sở hữu:(mathop {lim }limits_{x to {0^ + }} f(x) = mathop {lim }limits_{x to {0^ + }} (2{x^2} + 3x + 1) = 1).
(mathop {lim }limits_{x to {0^ - }} f(x) = mathop {lim }limits_{x to {0^ - }} ( - {x^2} + 3x + 2) = Hai Rightarrow mathop {lim }limits_{x to {0^ + }} f(x) ne mathop {lim }limits_{x to {0^ - }} f(x)).
Vậy hàm số (f(x)) ko sở hữu giới hạn lúc(x to 0).
Ví dụ 3:
Tìm (m) để những hàm số:
a) (f(x) = left{ begin{array}{l}frac{{{x^2} + mx + 2m + 1}}{{x + 1}}{rm{ lúc }}x ge 0frac{{2x + 3m - 1}}{{sqrt {1 - x} + 2}}{rm{ lúc }}x < 0end{array} right.) sở hữu giới hạn lúc (x to 0).
b)(f(x) = left{ begin{array}{l}frac{{{x^2} + x - 2}}{{sqrt {1 - x} }} + mx + 1{rm{ lúc }}x < 13mx + 2m - 1{rm{ lúc }}x ge 1end{array} right.) sở hữu giới hạn lúc (x to 1).
Hướng dẫn:
a) Ta sở hữu: (mathop {lim }limits_{x to {0^ + }} f(x) = mathop {lim }limits_{x to {0^ + }} frac{{{x^2} + mx + 2m + 1}}{{x + 1}} = 2m + 1)
(mathop {lim }limits_{x to {0^ - }} f(x) = mathop {lim }limits_{x to {0^ - }} frac{{2x + 3m - 1}}{{sqrt {1 - x} + 2}} = frac{{3m - 1}}{3})
Hàm số sở hữu giới hạn lúc (x to 0) lúc và chỉ lúc (mathop {lim }limits_{x to {0^ + }} f(x) = mathop {lim }limits_{x to {0^ - }} f(x))
( Leftrightarrow 2m + 1 = frac{{3m - 1}}{3} Leftrightarrow m = - frac{4}{3}).
b) Ta sở hữu: (mathop {lim }limits_{x to {1^ + }} f(x) = mathop {lim }limits_{x to {1^ + }} (3mx + 2m - 1) = 5m - 1)
(mathop {lim }limits_{x to {1^ - }} f(x) = mathop {lim }limits_{x to {1^ - }} left( {frac{{{x^2} + x - 2}}{{sqrt {1 - x} }} + mx + 1} right))
( = mathop {lim }limits_{x to {1^ - }} left( { - (x + 2)sqrt {1 - x} + mx + 1} right) = m + 1)
Hàm số sở hữu giới hạn lúc (x to 1) lúc và chỉ lúc (mathop {lim }limits_{x to {1^ + }} f(x) = mathop {lim }limits_{x to {1^ - }} f(x))
( Leftrightarrow 5m - 1 = m + Một Leftrightarrow m = frac{1}{2}).
Bài toán 2: Tìm (A = mathop {lim }limits_{x to {x_0}} frac{{f(x)}}{{g(x)}}) trong đó (f({x_0}) = g({x_0}) = 0).
Dạng này ta gọi là dạng vô định(frac{0}{0}).
Để khử dạng vô định này ta sử dụng định lí Bơzu cho đa thức:
Định lí: Nếu đa thức (f(x)) sở hữu nghiệm (x = {x_0}) thì ta sở hữu :
(f(x) = (x - {x_0}){f_1}(x)).
- Nếu (f(x)) và (g(x)) là những đa thức thì ta phân tích (f(x) = (x - {x_0}){f_1}(x)) và(g(x) = (x - {x_0}){g_1}(x)). Lúc đó(A = mathop {lim }limits_{x to {x_0}} frac{{{f_1}(x)}}{{{g_1}(x)}}), nếu giới hạn này sở hữu dạng (frac{0}{0}) thì ta tiếp tục quá trình như trên.
Chú ý :Nếu tam thức bậc hai (a{x^2} + b{rm{x + c}}) sở hữu hai nghiệm ({x_1},{x_2}) thì ta luôn sở hữu sự phân tích(a{x^2} + bx + c = a(x - {x_1})(x - {x_2})).
- Nếu (f(x)) và (g(x)) là những hàm chứa căn thức thì ta nhân lượng liên hợp để chuyển về những đa thức, rồi phân tích những đa thức như trên.
Những lượng liên hợp:
1. ((sqrt a - sqrt b )(sqrt a + sqrt b ) = a - b)
2. ((sqrt[3]{a} pm sqrt[3]{b})(sqrt[3]{{{a^2}}} mp sqrt[3]{{ab}} + sqrt[3]{{{b^2}}}) = a - b)
3. ((sqrt[n]{a} - sqrt[n]{b})(sqrt[n]{{{a^{n - 1}}}} + sqrt[n]{{{a^{n - 2}}b}} + ... + sqrt[n]{{{b^{n - 1}}}}) = a - b)
- Nếu (f(x)) và (g(x)) là những hàm chứa căn thức ko đồng bậc ta sử dụng phương pháp tách, chẳng hạn:
Nếu (sqrt[n]{{u(x)}},sqrt[m]{{v(x)}} to c) thì ta phân tích:
(sqrt[n]{{u(x)}} - sqrt[m]{{v(x)}} = (sqrt[n]{{u(x)}} - c) - (sqrt[m]{{v(x)}} - c)).
Trong nhiều trường hợp việc phân tích như trên ko đi tới kết quả ta phải phân tích như sau:(sqrt[n]{{u(x)}} - sqrt[m]{{v(x)}} = (sqrt[n]{{u(x)}} - m(x)) - (sqrt[m]{{v(x)}} - m(x))), trong đó (m(x) to c).
- Một đẳng thức cần lưu ý:
({a^n} - {b^n} = (a - b)({a^{n - 1}} + {a^{n - 2}}b + ... + a{b^{n - 2}} + {b^{n - 1}})).
Ví dụ 1:
Tính những giới hạn sau:
a) Tìm giới hạn (A = mathop {lim }limits_{x to 1} frac{{{x^3} - 3{x^2} + 2}}{{{x^2} - 4x + 3}}.)
b) Tìm giới hạn (B = mathop {lim }limits_{x to 2} frac{{{x^4} - 5{x^2} + 4}}{{{x^3} - 8}}.)
Hướng dẫn:
a) Ta sở hữu: (A = mathop {lim }limits_{x to 1} frac{{{x^3} - 3{x^2} + 2}}{{{x^2} - 4x + 3}} = mathop {lim }limits_{x to 1} frac{{(x - 1)({x^2} - 2x - 2)}}{{(x - 1)(x - 3)}})( = mathop {lim }limits_{x to 1} frac{{{x^2} - 2x - 2}}{{x - 3}} = frac{3}{2}).
b) Ta sở hữu: (B = mathop {lim }limits_{x to 2} frac{{{x^4} - 5{x^2} + 4}}{{{x^3} - 8}} = mathop {lim }limits_{x to 2} frac{{({x^2} - 1)({x^2} - 4)}}{{{x^3} - {2^3}}})( = mathop {lim }limits_{x to 2} frac{{({x^2} - 1)(x - 2)(x + 2)}}{{(x - 2)({x^2} + 2x + 4)}})( = mathop {lim }limits_{x to 2} frac{{({x^2} - 1)(x + 2)}}{{{x^2} + 2x + 4}} = 1).
Ví dụ 2:
Tìm những giới hạn sau:
a) (A = mathop {lim }limits_{x to 1} frac{{{x^n} - 1}}{{x - 1}})
b) (B = mathop {lim }limits_{x to 1} frac{{{x^5} - 5{x^3} + 2{x^2} + 6x - 4}}{{{x^3} - {x^2} - x + 1}})
Hướng dẫn:
a) Ta sở hữu: ({x^n} - 1 = (x - 1)({x^{n - 1}} + {x^{n - 2}} + ... + x + 1))
Suy ra: (frac{{{x^n} - 1}}{{x - 1}} = {x^{n - 1}} + {x^{n - 2}} + ... + x + 1)
Do đó: (A = mathop {lim }limits_{x to 1} left( {{x^{n - 1}} + {x^{n - 2}} + ... + x + 1} right) = n).
b) Ta sở hữu: ({x^5} - 5{x^3} + 2{x^2} + 6x - 4 = {(x - 1)^2}(x + 2)({x^2} - 2))
({x^3} - {x^2} - x + 1 = {(x - 1)^2}(x + 1))
Do đó: (B = mathop {lim }limits_{x to 1} frac{{(x + 2)({x^2} - 2)}}{{x + 1}} = - frac{3}{2}).
Ví dụ 3:
Tìm những giới hạn sau:
a) (A = mathop {lim }limits_{x to 1} frac{{sqrt {2x - 1} - x}}{{{x^2} - 1}})
b) (B = mathop {lim }limits_{x to 2} frac{{sqrt[3]{{3x + 2}} - x}}{{sqrt {3x - 2} - 2}})
Lời giải:
a) Ta sở hữu:(A = mathop {lim }limits_{x to 1} frac{{2x - 1 - {x^2}}}{{(x - 1)(x + 1)(sqrt {2x - 1} + x)}})( = mathop {lim }limits_{x to 1} frac{{ - (x - 1)}}{{(x + 1)(sqrt {2x - 1} + x)}} = 0)
b) Ta sở hữu:(B = mathop {lim }limits_{x to 2} frac{{(3x + 2 - {x^3})(sqrt {3x - 2} + 2)}}{{3(x - 2)(sqrt[3]{{{{(3x + 2)}^2}}} + 2sqrt[3]{{3x + 2}} + 4)}})
( = mathop {lim }limits_{x to 2} frac{{ - ({x^2} + 2x + 1)(sqrt {3x - 2} + 2)}}{{3(sqrt[3]{{{{(3x + 2)}^2}}} + 2sqrt[3]{{3x + 2}} + 4)}} = - 1) .
Bài toán 3: Tìm(B = mathop {lim }limits_{x to pm infty } frac{{f(x)}}{{g(x)}}), trong đó(f(x),g(x) to infty ), dạng này ta còn gọi là dạng vô định(frac{infty }{infty }).
Phương pháp: Tương tự như cách khử dạng vô định ở dãy số. Ta cần tìm cách đưa về những giới hạn:
- (mathop {lim }limits_{x to + infty atop(x to - infty )} {x^{2k}} = + infty ) ; (mathop {lim }limits_{x to + infty atop(x to - infty )} {x^{2k + 1}} = + infty {rm{ }}( - infty )).
- (mathop {lim }limits_{x to + infty atop(x to - infty )} frac{k}{{{x^n}}} = 0{rm{ }}(n > 0;k ne 0)).
- (mathop {lim }limits_{x to {x_0}} f(x) = + infty {rm{ }}( - infty ) Leftrightarrow mathop {lim }limits_{x to {x_0}} frac{k}{{f(x)}} = 0{rm{ }}(k ne 0)).
Ví dụ 1:
Tìm những giới hạn sau:
a) (A = mathop {lim }limits_{x to + infty } frac{{{{(4x + 1)}^3}{{(2x + 1)}^4}}}{{{{(3 + 2x)}^7}}})
b) (B = mathop {lim }limits_{x to - infty } frac{{sqrt {4{x^2} - 3x + 4} + 3x}}{{sqrt {{x^2} + x + 1} - x}})
Hướng dẫn:
a) Ta sở hữu: (A = mathop {lim }limits_{x to + infty } frac{{{{left( {4 + frac{1}{x}} right)}^3}{{left( {2 + frac{1}{x}} right)}^4}}}{{{{left( {frac{3}{x} + 2} right)}^7}}} = 8.)
b) Ta sở hữu: (B = mathop {lim }limits_{x to - infty } frac{{ - sqrt {4 - frac{3}{x} + frac{4}{{{x^2}}}} + 3}}{{ - sqrt {1 + frac{1}{x} + frac{1}{{{x^2}}}} - 1}} = frac{1}{2}.)
Ví dụ 2:
Tìm những giới hạn sau:
a) (A = mathop {lim }limits_{x to + infty } frac{{sqrt {2{x^2} + 1} - sqrt {{x^2} + 1} }}{{2x + 2}})
b) (B = mathop {lim }limits_{x to - infty } frac{{sqrt {3{x^2} - 2} + sqrt {x + 1} }}{{sqrt {{x^2} + 1} - 1}})
Hướng dẫn:
a) Ta sở hữu:(A = mathop {lim }limits_{x to + infty } frac{{left| x right|sqrt {2 + frac{1}{{{x^2}}}} - left| x right|sqrt {1 + frac{1}{{{x^2}}}} }}{{x(2 + frac{2}{x})}} = mathop {lim }limits_{x to + infty } frac{{sqrt {2 + frac{1}{{{x^2}}}} - sqrt {1 + frac{1}{{{x^2}}}} }}{{2 + frac{2}{x}}} = frac{{sqrt 2 - 1}}{2}.) .
b) Ta sở hữu: (B = mathop {lim }limits_{x to - infty } frac{{left| x right|sqrt {3 - frac{2}{{{x^2}}}} + left| x right|sqrt {frac{1}{x} + frac{1}{{{x^2}}}} }}{{left| x right|left( {sqrt {1 + frac{1}{{{x^2}}}} - frac{1}{}} right)}} = mathop {lim }limits_{x to - infty } frac{{ - sqrt {3 - frac{2}{{{x^2}}}} - sqrt {frac{1}{x} + frac{1}{{{x^2}}}} }}{{ - left( {sqrt {1 + frac{1}{{{x^2}}}} - frac{1}{}} right)}} = sqrt 3 .)
Ví dụ 3:
Tìm giới hạn (H = mathop {lim }limits_{x to + infty } left( {sqrt[4]{{16{x^4} + 3x + 1}} - sqrt {4{x^2} + 2} } right).)
Hướng dẫn:
Ta sở hữu: (H = mathop {lim }limits_{x to + infty } frac{{sqrt {16{x^4} + 3x + 1} - (4{x^2} + 2)}}{{sqrt[4]{{16{x^4} + 3x + 1}} + sqrt {4{x^2} + 2} }})
( = mathop {lim }limits_{x to + infty } frac{{16{x^4} + 3x + 1 - {{(4{x^2} + 2)}^2}}}{{left( {sqrt[4]{{16{x^4} + 3x + 1}} + sqrt {4{x^2} + 2} } right)left( {sqrt {16{x^4} + 3x + 1} + 4{x^2} + 2} right)}})
( = mathop {lim }limits_{x to + infty } frac{{ - 16{x^2} + 3x - 3}}{{left( {sqrt[4]{{16{x^4} + 3x + 1}} + sqrt {4{x^2} + 2} } right)left( {sqrt {16{x^4} + 3x + 1} + 4{x^2} + 2} right)}})
Suy ra (H = 0).
Bài toán 4: Dạng vô định: (infty - infty ) và (0.infty )
Phương pháp:
Những dạng vô định này ta tìm cách biến đổi đưa về dạng (frac{infty }{infty }).
Ví dụ 1:
Tìm giới hạn (A = mathop {lim }limits_{x to + infty } left( {sqrt {{x^2} - x + 1} - x} right).)
Hướng dẫn:
Ta sở hữu: (A = mathop {lim }limits_{x to + infty } frac{{(sqrt {{x^2} - x + 1} - x)(sqrt {{x^2} - x + 1} + x)}}{{sqrt {{x^2} - x + 1} + x}})
( = mathop {lim }limits_{x to + infty } frac{{{x^2} - x + 1 - {x^2}}}{{sqrt {{x^2} - x + 1} + x}} = mathop {lim }limits_{x to + infty } frac{{ - x + 1}}{{sqrt {{x^2} - x + 1} + x}} = - frac{1}{2}).
Ví dụ 2:
Tìm giới hạn (B = mathop {lim }limits_{x to - infty } left( {2x + sqrt {4{x^2} - x + 1} } right).)
Hướng dẫn:
(B = mathop {lim }limits_{x to - infty } frac{{(2x - sqrt {4{x^2} - x + 1} )(2x + sqrt {4{x^2} - x + 1} )}}{{2x - sqrt {4{x^2} - x + 1} }})( = mathop {lim }limits_{x to - infty } frac{{x + 1}}{{2x - sqrt {4{x^2} - x + 1} }} = frac{1}{4}).
Ví dụ 3:
Tìm những giới hạn sau:(A = mathop {lim }limits_{x to - infty } (sqrt[3]{{{x^3} - 3{x^2}}} + sqrt {{x^2} - 2x} ))
Hướng dẫn:
Ta sở hữu: (sqrt[3]{{{x^3} - 3{x^2}}} + sqrt {{x^2} - 2x} = (sqrt[3]{{{x^3} - 3{x^2}}} - x) + (sqrt {{x^2} - 2x} + x))
( = frac{{ - 3{x^2}}}{{sqrt[3]{{{{({x^3} - 3{x^2})}^2}}} + xsqrt[3]{{{x^3} - 3{x^2}}} + {x^2}}} + frac{{ - 2x}}{{sqrt {{x^2} - 2x} - x}})
( Rightarrow A = mathop {lim }limits_{x to - infty } frac{{ - 3}}{{sqrt[3]{{{{(1 - frac{3}{x})}^2}}} + sqrt[3]{{1 - frac{3}{x}}} + 1}} + mathop {lim }limits_{x to - infty } frac{{ - 2}}{{ - sqrt {1 - frac{2}{x}} - 1}} = 0).
Bài toán 5: Dạng vô định những hàm lượng giác
Phương pháp:
Ta sử dụng những công thức lượng giác biến đổi về những dạng sau:
( bullet )(mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{sin x}}{x} = mathop {lim }limits_{x to 0} frac{x}{{sin x}} = 1), từ đây suy ra(mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{tan x}}{x} = mathop {lim }limits_{x to 0} frac{x}{{tan x}} = 1).
( bullet ) Nếu (mathop {lim }limits_{x to {x_0}} u(x) = 0 Rightarrow mathop {lim }limits_{x to {x_0}} frac{{sin u(x)}}{{u(x)}} = 1) và(mathop {lim }limits_{x to {x_0}} frac{{tan u(x)}}{{u(x)}} = 1).
Ví dụ 1:
Tìm giới hạn (A = mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{1 - cos ax}}{{{x^2}}}.)
Hướng dẫn:
Ta sở hữu:(A = mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{2{{sin }^2}frac{{ax}}{2}}}{{{x^2}}} = frac{a}{2}mathop {lim }limits_{x to 0} {left( {frac{{sin frac{{ax}}{2}}}{{frac{{ax}}{2}}}} right)^2} = frac{a}{2}).
Ví dụ 2:
Tìm giới hạn (B = mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{cos 2x - cos 3x}}{{x(sin 3x - sin 4x)}}.)
Hướng dẫn:
(B = mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{2sin frac{{5x}}{2}sin frac{x}{2}}}{{ - 2xcos frac{{7x}}{2}sin frac{x}{2}}} = - mathop {lim }limits_{x to 0} (frac{5}{2}.frac{{sin frac{{5x}}{2}}}{{frac{{5x}}{2}}}).mathop {lim }limits_{x to 0} frac{1}{{cos frac{{7x}}{2}}} = frac{5}{2}).
Ví dụ 3:
Tìm những giới hạn sau:
a)(A = mathop {lim }limits_{x to 0} {x^3}sin frac{1}{{{x^2}}})
b)(B = mathop {lim }limits_{x to + infty } left( {2sin x + {{cos }^3}x} right)left( {sqrt {x + 1} - sqrt x } right))
Hướng dẫn:
a) Ta sở hữu: (0 le left| {{x^3}sin frac{1}{{{x^2}}}} right| le {x^3})
Mà (mathop {lim }limits_{x to 0} {x^3} = 0 Rightarrow mathop {lim }limits_{x to 0} left| {{x^3}sin frac{1}{{{x^2}}}} right| = 0 Rightarrow mathop {lim }limits_{x to 0} {x^3}sin frac{1}{{{x^2}}} = 0)
Vậy (A = 0).
b) Ta sở hữu: (B = mathop {lim }limits_{x to + infty } frac{{2sin x + {{cos }^3}x}}{{sqrt {x + 1} + sqrt x }})
Mà: (0 le left| {frac{{2sin x + {{cos }^2}x}}{{sqrt {x + 1} + sqrt x }}} right| le frac{3}{{sqrt {x + 1} + sqrt x }} to 0) lúc (x to + infty ).
Do đó: (B = 0).
