Hệ thức lượng trong tam giác – Ôn kiến thức và giải bài tập

Hệ thức lượng trong tam giác – Ôn kiến thức và giải bài tập

Hệ thức lượng trong tam giác là bài học thuộc chương trình toán lớp 10. Những em muốn tìm hiểu về tri thức cùng lời giải bài tập chi tiết hãy đọc ngay bài viết. Những thông tin do chuyên trang sản xuất sẽ là nguồn tư liệu tham khảo hữu ích dành cho độc giả.

Hệ thức lượng trong tam giác

Lý thuyết hệ thức lượng trong tam giác

Hệ thức lượng trong tam giác bao gồm định lí cosin, sin, độ dài đường trung tuyến. Đồng thời, công thức tính diện tích tam giác cũng là nội dung những em cần nằm lòng.

1 – Định lí côsin

Trong một tam giác bất kỳ bình phương của một cạnh sẽ bằng tổng những bình phương của hai cạnh còn lại trừ đi hai lần tích của hai cạnh đó nhân với cosin của góc xen giữa chúng. Tương tự, ta với những điều sau:

Vận dụng hệ thức lượng trong tam giác ta tính độ dài đường trung tuyến của tam giác. Trong một tam giác ABC bất kỳ ta với cạnh BC = a, cạnh CA = b, cạnh AB = c. Ta gọi ma, mb và mc là độ dài của những đường trung tuyến vẽ từ đỉnh A, B, C của tam giác:

2 – Định lí sin

Trong một tam giác ABC bất kỳ, tỉ số giữa một cạnh và sin của góc đối diện với cạnh đó sẽ bằng đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác. Tức là:

= = = 2R (R là bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác).

3 – Độ dài đường trung tuyến

Cho tam giác ABC ta với ma, mb và mc là những trung tuyến kẻ từ những điểm A, B, C. Ta với:

4 – Công thức tính diện tích tam giác

Cho tam giác ABC với những điều sau:

  • ha, hb, hc là độ dài đường cao tuần tự ứng với những cạnh là BC, CA và AB.
  • Bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác là R.
  • Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác là r.
  • Nửa chu vi tam giác là p =
  • Diện tích tam giác là S.

Từ những dữ kiện kể trên ta với công thức tính diện tích tam giác là:

Để nắm vững tri thức hệ thức lượng trong tam giác và cách vận dụng vào môn Toán một cách tiện dụng đạt điểm 8+. Bạn hãy bấm vào tìm hiểu ngay khóa học: Bứt Phá Điểm 8+ Môn Toán Lớp 10. Đồng hành cùng bạn là Thầy Mạnh với hơn 6 năm kinh nghiệm giảng dạy và Ôn thi Đại Học. Đặc thù, nhà Kiến gửi tặng bạn ƯU ĐÃI 73% HỌC PHÍ lúc đăng ký ngay hôm nay!

Trả lời nghi vấn hệ thức lượng trong tam giác SGK

Nhằm củng cố tri thức về hệ thức lượng trong tam giác, chúng ta sẽ đi trả lời nghi vấn trong SGK. Những em muốn nắm vững nội dung quan yếu đừng bỏ qua những phân tích chi tiết sau đây:

1 – Nghi vấn trang 48

Trang 48 bao gồm nghi vấn Hai và 3. Với mỗi phần sẽ với yêu cầu và nội dung lời giải cụ thể như sau:

Câu Hai SGK trang 48

Yêu cầu phát biểu định lý cosin bằng lời

Lời giải:

Bình phương của một cạnh bằng tổng bình phương hai cạnh còn lại trừ đi hai lần tích hai cạnh đó nhân với cosin góc xen giữa.

Câu 3 SGK trang 48

Hỏi rằng định lý cosin trở thành định lý thân thuộc nào lúc ABC là tam giác vuông?

Lời giải:

Lúc ABC là một tam giác vuông định lý cosin sẽ trở thành định lý Py – ta – go thân thuộc.

2 – Nghi vấn trang 49

Yêu cầu tính độ dài của đường trung tuyến ma của tam giác ABC. Biết rằng tam giác ABC với cạnh a = 7cm, cạnh b = 8cm.

Lời giải:

3 – Nghi vấn trang 50

Yêu cầu chứng minh = = = 2R. Biết rằng tam giác ABC vuông ở A nội tiếp trong đường tròn với bán kính R và cạnh BC = a, cạnh CA = b và cạnh AB = c.

Lời giải:

4 – Nghi vấn trang 52

Yêu cầu tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác. Biết rằng tam giác đều ABC với cạnh bằng a.

Lời giải:

Gợi ý giải bài tập SGK

Bài tập về hệ thức lượng trong tam giác cũng là nội dung đáng chú ý. Những em muốn tìm ra lời đáp xác thực cho yêu cầu trong sách giáo khoa hãy theo dõi ngay nội dung dưới đây:

1 – Bài Một trang 59

Yêu cầu tính góc C, cạnh b, cạnh c và đường cao ha. Biết rằng, tam giác ABC vuông tại điểm A, cạnh a với số đo là 72cm và góc B bằng 58 độ.

Hình vẽ

Lời giải:

Đối với bài tập này những em vận dụng ngay định lý tổng ba góc trong một tam giác là: Góc A + góc B + góc C = 180 độ. Đồng thời, chúng ta dựa vào công thức lượng giác của những góc nhọn trong tam giác vuông để tính cạnh, chiều cao cần tìm của tam giác.

2 – Bài Hai trang 59

Yêu cầu tính ba góc A, B và C biết rằng tam giác ABC với cạnh a = 52,1cm; cạnh b = 85cm; cạnh c = 54cm.

Lời giải:

3 – Bài 3 trang 59

Yêu cầu tính cạnh a và hai góc B, C của tam giác. Biết rằng tam giác ABC với góc A = 120 độ, cạnh b = 8cm, cạnh c = 5 cm.

Lời giải:

Muốn giải bài tập này những em vận dụng ngay những công thức sau:

  • Định lý của hàm số cos: a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA.
  • Định lý của hàm số sin: = =
  • Vận dụng tri thức tổng ba góc của một tam giác: Góc A + góc B + góc C = 180 độ

4 – Bài 4 trang 59

Yêu cầu tính diện tích S của tam giác biết rằng số đo những cạnh của tam giác tuần tự là 7, 9 và 12.

Lời giải:

5 – Bài 5 trang 59

Yêu cầu tính cạnh BC trong tam giác ABC biết rằng cạnh AC = m và cạnh AB = n, góc A = 120 độ.

Lời giải:

Bài tập này những em vận dụng ngay định lý của hàm số cos a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA để giải.

6 – Bài 6 trang 59

Cho tam giác ABC với những cạnh a = 8cm, b = 10cm và c = 13cm. Hỏi rằng:

  1. Tam giác ABC với góc tù ko?
  2. Tính độ dài của trung tuyến AM của tam giác ABC.

Lời giải:

  • Ta vận dụng định lý: Trong một tam giác với góc đối diện với cạnh to nhất sẽ là góc to nhất.
  • Cos α to hơn 0 lúc α là góc tù.
  • Vận dụng định lý hàm số cos: a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA.
  1. Muốn tính được đường trung tuyến ta vận dụng ngay công thức m2a =

Tương tự, ta với lời giải như sau:

AM2 = m2a = =

Article post on: nongdanmo.com

Suy ra AM = = 10, 69 (cm).

Từ những tính toán nêu trên ta đã tìm ra độ dài của trung tuyến AM là 10, 69cm.

Trên đây là những tri thức quan yếu về hệ thức lượng trong tam giác và bài tập cùng lời giải cụ thể. Hi vọng những em đã tìm thấy nội dung hữu ích và học toán tốt hơn. Hãy tiếp tục theo dõi chuyên trang để ko bỏ lỡ những tài liệu hay khác.


--- Cập nhật: 23-01-2023 --- nongdanmo.com tìm được thêm bài viết Các hệ thức lượng trong tam giác thường, và tam giác vuông. từ website tonghopso.com cho từ khoá tính cạnh tam giác thường.

Bài viết sẽ san sớt với những bạn những hệ thức lượng trong tam giác thường, và trường hợp đặc trưng là trong tam giác vuông, đồng thời là những ứng dụng, những dạng bài toán và phương pháp giải bài tập về những hệ thức lượng trong tam giác.

Những hệ thức lượng trong tam giác

Định lý cosin

Trong tam giác ABC bất kỳ với BC = a, CA = b, AB = c, ta với:

a2 = b2 + c2 – 2b.c. cos A

b2 = a2 + c2 – 2a.c. cos B

c2 = a2 + b2 – 2a.b. cos C

Hệ quả

Vận dụng: Tính độ dài đường trung tuyến của tam giác.

Cho tam giác ABC với độ dài cạnh BC = a, CA = b, AB = c. Gọi ma, mb, mc tuần tự là độ dài những đường trung tuyến vẽ từ đỉnh A, B, C của tam giác. Ta với:

Định lý Sin

Trong tam giác ABC bất kỳ với BC = a, CA = b, AB = c, và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp. Ta với:

Công thức tính diện tích tam giác.

Với ha, hb, hc tuần tự là đường cao của tam giác ABC vẽ từ những đỉnh A, B, C, ta với diện tích tam giác ABC:

Với, R là bán kính đường tròn loại tiếp, r là bán kính đường tròn nội tiếp, p là nửa chu vi của tam giác ABC, diện tích của tam giác ABC được tính theo một trong những công thức sau:

Công thức Heron còn với thể được viết lại như sau:

Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Cho tam giác ABC vuông góc tại đỉnh A (góc A bằng 90o) như hình bên dưới:

Ta với:

Giải tam giác

Phương pháp:

Một tam giác thường được xác định lúc biết 3 yếu tố. Trong những bài toán giải tam giác, người ta thường cho ta giác với 3 yếu tố như sau:

  • Biết một cạnh và Hai góc kề cạnh đó (g, c, g)
  • Biết một góc và Hai cạnh kề góc đó (c, g, c)
  • Biết 3 cạnh (c, c, c)

Để tìm những yếu tố còn lại của tam giác, người ta thường sử dụng những định lý cosin, định lý sin, định lý tổng 3 góc của một tam giác bằng 180o và đặc trưng với thể sử dụng những hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Lưu ý: 

  • Một tam giác giải được lúc ta biết 3 yếu tố của nó, trong đó phải với ít nhất một yếu tố độ dài (tức là yếu tố góc ko được quá 2)
  • Việc giải tam giác được sử dụng vào những bài toán thực tế, nhất là những bài toán đo đạc.

Trên đây là những tri thức cơ bản về hệ thức lượng trong tam giác thường và tam giác vuông, cũng như phương pháp giải tam giác. Hi vọng qua những tri thức này, bạn sẽ nắm hoàn thành tốt những bài tập này.


--- Cập nhật: 03-02-2023 --- nongdanmo.com tìm được thêm bài viết Công thức hệ thức lượng trong tam giác vuông, cân, thường và bài tập từ website thptsoctrang.edu.vn cho từ khoá tính cạnh tam giác thường.

Source: nongdanmo.com

Công thức hệ thức lượng trong tam giác vuông, cân, thường và bài tập

Bài viết hôm nay, THPT Sóc Trăng sẽ giới thiệu tới những bạn công thức hệ thức lượng trong tam giác vuông, cân, thường và nhiều dạng bài tập thường gặp. Hãy dành thời kì tìm hiểu để nắm chắc hơn chuyên đề Hình học 12 vô cùng qua trọng này bạn nhé !

I. CÔNG THỨC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

1. Những hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

Cho ΔABC, góc A bằng 900, AH ⊥ BC, AB = c, AC = b, BC = a, AH = h thì:

  • BH = c’ được gọi là hình chiếu của AB xuống BC
  • CH = b’ được gọi là hình chiếu của AC xuống BC

Lúc đó, ta với:

  • c2 = a.c’ (AB2 = BH.BC)
  •  b2 = a.b’ (AC2 = CH.BC)
  • h2 = b’.c’ (AH2 = CH.BH)
  • b.c = a.h (AB.AC = AH.BC )
  • 1/h2 = 1/b2 + 1/c(1/AH2 = 1/AB2 + 1/AC2)
  • b2 + c2 = a2 (AB2 + AC2 = BC2)(Định lý Pytago)

2. Tỉ số lượng giác của góc nhọn

a. Khái niệm

  • sinα = cạnh đối chia cho cạnh huyền
  • cosα = cạnh kề chia cho cạnh huyền
  • tanα = cạnh đối chia cho cạnh kề
  • cotα = cạnh kề chia cho cạnh đối

b. Định lí

Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng cosin góc kia, tang góc này bằng cotang góc kia.

c. Một số hệ thức cơ bản

d. So sánh những tỉ số lượng giác

Cho góc nhọn α, ta với:

a) Cho α,β là hai góc nhọn. Nếu α < β thì

  • sinα < sinβ; tanα < tanβ
  • cosα > cosβ; cotα > cotβ

b) sinα < tanα; cosα < cotα

3. Hệ thức về góc và cạnh trong tam giác vuông

a. Những hệ thức

Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng:

  • Cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với cos góc kề
  • Cạnh góc vuông kia nhân với tan góc đối hoặc cot góc kề
  • b = a.sinB = a.cosC
  • c = a.sinC = a.cosB
  • b = c.tanB = c.cotC
  • c = b.tanB = b.cotC

4. Giải tam giác và ứng dụng vào việc đo đạc

Giải tam giác : Giải tam giác là tìm một số yếu tố của tam giác lúc đã biết những yếu tố khác của tam giác đó.

Muốn giải tam giác ta cần tìm mối liên hệ giữa những yếu tố đã cho với những yếu tố chưa biết của tam giác thông qua những hệ thức đã được nêu trong định lí cosin, định lí sin và những công thức tính diện tích tam giác.

Những bài toán về giải tam giác:

Sở hữu 3 bài toán cơ bản về gỉải tam giác:

a) Giải tam giác lúc biết một cạnh và hai góc.

Via @: nongdanmo.com

Đối với bài toán này ta sử dụng định lí sin để tính cạnh còn lại

b) Giải tam giác lúc biết hai cạnh và góc xen giữa

Đối với bài toán này ta sử dụng định lí cosin để tính cạnh thứ ba

c) Giải tam giác lúc biết ba cạnh

Đối với bài toán này ta sử dụng định lí cosin để tính góc

Lưu ý:

  • Cần lưu ý là một tam giác giải được lúc ta biết 3 yếu tố của nó, trong đó phải với ít nhất một yếu tố độ dài (tức là yếu tố góc ko được quá 2)
  • Việc giải tam giác được sử dụng vào những bài toán thực tế, nhất là những bài toán đo đạc.

II. CÔNG THỨC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC THƯỜNG

1. Định lý Cosin

Trong một tam giác bất kì, bình phương một cạnh bằng tổng những bình phương của hai cạnh còn lại trừ đi hai lần tích của hai cạnh đó nhân với cosin của góc xen giữa chúng.

  • a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA;
  • b2 = c2 + a2 – 2ca.cosB;
  • c2 = a2 + b2 – 2ab.cosC.

Hệ quả:

  • Cos A = (b2 + c2 – a2)/2bc
  • Cos B = (a2 + c2 – b2)/2ac
  • Cos C = (a2 + b2 – c2)/2ab

2. Định lý Sin

Trong tam giác ABC bất kể, tỉ số giữa một cạnh và sin của góc đối lập với cạnh đó bằng đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác. Ta với :

a /sinA = b/sinB = c/sinC = 2R

Với R là nửa đường kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

Ngoài ra, những bạn nên tìm hiểu thêm thêm công thức lượng giác chi tiết cụ thể tại đây .

3. Độ dài đường trung tuyến của tam giác

Cho tam giác ABC với độ dài cạnh BC = a, CA = b, AB = c. Gọi ma, mb, mc tuần tự là độ dài những đường trung tuyến vẽ từ đỉnh A, B, C của tam giác. Ta với

  • ma2 = [2(b2 + c2) – a2]/4
  • mb2 = [2(a2 + c2) – b2]/4
  • mc2 = [2(a2 + b2) – c2]/4

4. Công thức tính diện tích tam giác

Ta kí hiệu ha, hb và hc là những đường cao của tam giác ABClần lượt vẽ từ những đỉnh A, B, C và S là diện tích quy hoạnh tam giác đó .
Diện tích S của tam giác ABC được tính theo một trong những công thức sau :

  • S = ½absinC = ½bcsinA = ½casinB
  • S = abc/4R
  • S = pr
  • S = √p(p – a)(p – b)(p – c) (công thức hê – rông)

III. CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG, CÂN, THƯỜNG

Ví dụ 1: Cho ΔABC với AB = 12, BC = 15, AC = 13

a. Tính số đo những góc của ΔABC

b. Tính độ dài những đường trung tuyến của ΔABC

c. Tính diện tích tam giác ABC, bán kính đường tròn nội tiếp, bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

d. Tính độ dài đường cao nối từ những đỉnh của tam giác ABC

Lời giải:

a. Vận dụng hệ thức lượng trong tam giác ta với:

c. Để tính được diện tích một cách xác thực nhất ta sẽ vận dụng công thức Hê – rông

IV. MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC LUYỆN TẬP THÊM

Bài 1: Cho ∆ABC vuông tại A. Biết ABAC=57. Đường cao là AH = 15cm. Vận dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, hãy tính HB, HC.

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A. Trong đó AB = 12cm, AC = 16cm, phân giác AD, đường cao AH. Tính HD, HB, HC.

Bài 3: Cho ∆ABC vuông tại A. Kẻ đường cao AH, tính chu vi ∆ABC biết AH = 14cm, HBHC=14

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A. Sở hữu đường cao AH. Biết AB = 20cm, HC = 9cm. Tính độ dài AH.

Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A với cạnh BD là phân giác góc B. Biết rằng AD = 2cm; BD = 12 cm. Tính độ dài cạnh BC.

Bài 6: Cho tam giác ABC , Góc B = 60 độ, BC = 8cm; AB + AC = 12cm. Tính độ dài cạnh AB.

Bài 7: Cho hình thang cân ABCD. Trong đó với đáy to của hình thang là CD = 10cm, đáy nhỏ bằng đường cao, đường chéo vuông góc với cạnh bên của hình thang. Tính độ dài đường cao của nó.

Bài 8: 

a. Cho tam giác ABC với Góc B = 60 độ, Góc C = 50 độ, ?? = 35?? . Tính diện tích tam giác ABC.

b. Cho tứ giác ABCD với góc A = Góc D = 90 độ, Góc C = 40 độ, ?? = 4??, ?? = 3??. Tính diện tích tứ giác ABCD.

c. Cho tứ giác ABCD với những đường chéo cắt nhau tại vị trí O. Cho biết ?? = 4, ?? = 5, Góc AOB = 50 độ. Tính diện tích tứ giác ABCD bằng hàm thức lượng giác.

Bài 9: Cho ∆ABC vuông tại A, kẻ đường cao AH, chu vi tam giác AHB = 40cm, chu vi ∆ACH = 5dm. Tính cạnh BH, CH và chu vi ∆ABC.

Bài 10: Chu vi của một tam giác bằng 120cm. Độ dài những cạnh tỉ lệ tuần tự với 8, 15, 17.

 a) Chứng minh đó là một tam giác vuông.

b) Tính khoảng cách từ giao điểm ba đường phân giác tới mỗi cạnh của tam giác.

Đăng bởi: THPT Sóc Trăng

Article post on: nongdanmo.com

Recommended For You

About the Author: Bảo