Khái niệm và các dạng toán phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Khái niệm và các dạng toán phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

I. Khái niệm phương trình tiếp tuyến

Tiếp tuyến của một đường cong tại một điểm bất kì thuộc đường cong là một đường thẳng chỉ "chạm" vào đường cong tại điểm đó. Tiếp tuyến như một đường thẳng nối một cặp điểm sắp nhau vô hạn trên phố cong. Chuẩn xác hơn, một đường thẳng là một tiếp tuyến của đường cong y = f (x) tại điểm x = c trên phố cong nếu đường thẳng đó đi qua điểm (cf (c)) trên phố cong và mang độ dốc f '(c) với f ' là đạo hàm của f.

Lúc tiếp tuyến đi qua điểm giao của đường tiếp tuyến và đường cong trên, được gọi là tiếp điểm, đường tiếp tuyến "đi theo hướng" của đường cong, và do đó là đường thẳng xấp xỉ tốt nhất với đường cong tại điểm xúc tiếp đó.

Mặt phẳng tiếp tuyến của mặt cong tại một điểm nhất định là mặt phẳng "chỉ chạm vào" mặt cong tại điểm đó.

- Hệ số góc k của tiếp tuyến chính là f′(x) . Vậy lúc bài toán cho hệ số góc k thì những bạn sẽ đi giải phương trình sau:
f′(x0) = k; với x0 là hoành độ tiếp điểm.

Giải phương trình này những bạn sẽ tìm được x0, từ đó sẽ tìm được y0 .

Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số tai điểm M(x0;y0).

Lúc đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(x0;y0) là y = y′(x0)(x−x0) + y0

Nguyên tắc chung để lập được phương trình tiếp tuyến ta phải tìm được hoành độ tiếp điểm x.

II. Những dạng toán thường gặp của phương trình tiếp tuyến

  • Viết phương trình tiếp tuyến tại tiếp điểm M
  • Viết phương trình tiếp tuyến đi qua điểm A cho trước
  • Viết phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc k

1. Phương trình tiếp tuyến tại tiếp điểm M(x0,y0) mang dạng:

                                   y = f‘(x0)(x−x0) + y0   (1)

Trong đó: f‘(x0) là đạo hàm của hàm số tại điểm x0.

                x0; y0 là hoành độ, tung độ của tiếp điểm M.

Tương tự với bài tập yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến thì ta phải tìm 3 đại lượng là: f′(x0); x0 và y0.

Phương trình tiếp tuyến tại tiếp điểm:

Để viết phương trình tiếp tuyến tại tiếp điểm cho trước M(x0, y0)

Cách làm: Bài toán yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại tiếp điểm M(x0,y0) thì công việc cần làm là tìm f′(x0); x0 và y0, trong đó x0, y0 chính là tọa độ của điểm M, vì vậy chỉ cần tính f′(x0), rồi thay vào phương trình (1) là xong.

2. Phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm

Cho đồ thị hàm số y=f(x), viết phương trình tiếp tuyến Δ của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến đi qua A(a,b)

Phương pháp:

Gọi phương trình tiếp tuyến của Δ mang dạng: y = f’x_{0}(x – x_{0}) + y_{0} (2)

Và mang tiếp điểm M0(x0,y0)

Vì A(a,b) thuộc tiếp tuyến nên thay tọa độ A vào phương trình ta mang:

b=f′x0(a–x0)+fx0 với fx0=y0

Phương trình này chỉ chứa ẩn x0, do đó chỉ cần giải phương trình trên để tìm x0.

Sau đó sẽ tìm được f′x0 và y0.

Tới đây phương trình tiếp tuyến của chúng ta đã tìm được.

3. Phương trình tiếp tuyến mang hệ số góc k

Để viết phương trình tiếp tuyến Δ của đồ thị (C) y = f(x) lúc hệ số góc k ta làm theo những bước sau:

  • Bước 1: Tính đạo hàm f’(x)
  • Bước 2: Giải phương trình f’(x) = k để tìm hoành độ x0 của tiếp điểm. Từ đây suy ra tọa độ điểm M0(x0;y0) với y0=f(x0)
  • Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến Δ tại tiếp điểm M0(x0;y0):

y=f′(x0)(x–x0)+y0

*Chú ý: Tính chất của hệ số góc k của tiếp tuyến

  • Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = ax + b thì k = a
  • Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = ax + b thì k= −a

--- Cập nhật: 20-01-2023 --- nongdanmo.com tìm được thêm bài viết Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số từ website toanthaydinh.com cho từ khoá tiếp tuyến của đồ thị hàm số là gì.

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số viết như thế nào? Bài viết dưới đây sẽ hướng dẫn những em học trò cách viết phương trình tiếp tuyến từ dạng dễ tới dạng khó. Những em cùng theo dõi nhé!.

ĐƯỜNG TIẾP TUYẾN ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Cho hàm số y=f(x) mang đồ thị là đường cong (C). Cho điểm M và N nằm trên (C). Lúc điểm M và N sắp nhau vô hạn thì đường thẳng MN được gọi là Một tiếp tuyến của (C) tại M ( hoặc N) (Theo Leibniz).

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Nếu hàm y=f(x) mang đạo hàm tại điểm α thì phương trình tiếp tuyến tại α là: y=y'(α)(x-α)+y(α).

VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN KHI BIẾT ĐIỂM NẰM TRÊN ĐỒ THỊ

Bài toán: Cho hàm số y=f(x) mang đồ thị (C) và điểm M(α;f(α)) nằm trên (C). Hàm y=f(x) mang đạo hàm tại điểm α. Yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M.

Phương pháp: Ở dạng này chúng ta chỉ cần tính thêm trị giá y'(α) và thay vào công thức y=y'(α)(x-α)+y(α).

Lưu ý: Đề bài thường ko nói điểm đó mang nằm trên đồ thị hay ko. Nên trước tiên chúng ta cần rà soát điểm mang nằm trên đồ thị hay ko đã.

Ví dụ:

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm y=x²+x đi qua điểm M(1;2).

Lời giải:

Rà soát thấy điểm M nằm trên đồ thị hàm số đã cho.

Ta mang: y’=2x+1⇒y'(1)=3.

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y=3(x−1)+2⇔y=3x−1.

VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN KHI BIẾT HOÀNH ĐỘ TIẾP ĐIỂM

Bài toán: Cho hàm số y=f(x) mang đạo hàm tại điểm α và yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại α .

Phương pháp: Trường hợp này khác trường hợp bên trên Một chút. Đó là chúng ta ko cần rà soát điểm nằm trên đồ thị. Nhưng chúng ta cần tính thêm trị giá y(α) và tất nhiên vẫn phải tính trị giá y'(α) rồi.

Ví dụ:

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm y=x³−3x tại điểm x=2.

Lời giải:

Ta mang: y’=3x²-3.

y'(2)=9 và y(2)=2.

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y=9(x−2)+2⇔y=9x−16.

Bộ đề thi Online những dạng mang giải chi tiết: Phương trình tiếp tuyến

VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN KHI BIẾT TUNG ĐỘ TIẾP ĐIỂM

Bài toán: Cho hàm số y=f(x). Yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến biết tung độ tiếp điểm β.

Article post on: nongdanmo.com

Phương pháp: Với dạng toán này chúng ta cần giải phương trình y(x)=β để tìm tung độ tiếp điểm. Từ hoành độ tiếp điểm chúng ta tìm được hệ số góc bằng cách thay vào y’.

Ví dụ:

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm y=x²−Một biết tung độ tiếp điểm là 8.

Lời giải:

y’=2x.

Ta mang: x²−1=8⇔ x²=9⇔x=±3.

Với x=3 thì y'(3)=6. Do đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y=6(x−3)+8⇔y=6x−10.

Với x=−3 thì y'(−3)=−6. Do đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y=−6(x+3)+8⇔y=−6x−10.

Vậy mang Hai phương trình tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là y=6x−10 và y=−6x−10.

VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN KHI BIẾT HỆ SỐ GÓC

Bài toán: Cho hàm số y=f(x). Yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến mang hệ số góc k.

Phương pháp: Dạng toán này còn thường xuất hiện dưới dạng viết phương trình tiếp tuyến song song hoặc vuông góc với đường thẳng cho trước. Để là dạng toán này ta giải phương trình y'(x)=k để tìm tung độ tiếp điểm.

Ví dụ:

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm y=−x²+3x+Một song song với đường thẳng y=x.

Lời giải:

Ta mang: y’=−2x+3.

Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng y=x nên y’=1⇔−2x+3=1⇔x=1.

Ta lại mang: y(1)=3.

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y=1(x−1)+3⇔y=x+2.

VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN ĐI QUA ĐIỂM NẰM NGOÀI ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Bài toán: Cho hàm số y=f(x) mang đồ thị (C). Điểm M(α;β) nằm ngoài đồ thị (C). Yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua M.

Phương pháp: Mang thể thấy dạng này “khó” hơn những dạng trên. Để giải dạng toán này chúng ta sử dụng điều kiện xúc tiếp của hai đường cong.

Ví dụ: 

Cho hàm số y=x²+2x−4 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm M(2;0).

Lời giải:

Rà soát thấy điểm M ko nằm trên (C).

Phương trinh đường thẳng d đi qua M mang dạng y=k(x−2).

Để d là tiếp tuyến của (C) thì hệ sau phải mang nghiệm và nghiệm chính là hoành độ tiếp điểm.

Source: nongdanmo.com

Với k=2, phương trình tiếp tuyến là y=2x−4.

Với k=10, phương trình tiếp tuyến là y=10x−20.

Nhận xét chung: Những dạng toán trên đều quy về tìm hoành độ tiếp điểm.

Chúc những em thành công!

Bộ đề thi Online những dạng mang giải chi tiết: Phương trình tiếp tuyến

Hàm số -


--- Cập nhật: 25-01-2023 --- nongdanmo.com tìm được thêm bài viết Bài toán cách tìm tiếp tuyến của đồ thị hàm số và Các dạng bài tập từ website dinhnghia.vn cho từ khoá tiếp tuyến của đồ thị hàm số là gì.

Khái niệm tiếp tuyến của đồ thị hàm số là gì?

Cho ( (C) ) là đồ thị của hàm số ( y=f(x) ) và điểm ( M(x_0;y_0) ) nằm trên ( (C) ). Lúc đó phương trình tiếp tuyến của ( (C) ) tại điểm ( M ) là :

( y=f’(x_0).(x-x_0) + f(x_0) )

Lúc đó, ( f’(x_0) ) là hệ số góc của tiếp tuyến tại ( M(x_0;y_0) )

Cách tìm tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Trong những bài toán tiếp tuyến đồ thị hàm số, để tìm được tiếp tuyến thì mấu chốt là ta phải tìm được điểm xúc tiếp hay trị giá ( x_0 ) trong công thức trên.

Cho hàm số ( y=x^4-2x^2 ) và điểm ( M(x_0;y_0) ) thuộc đồ thị hàm số. Biết rằng ( y’’(x_0) = 8 ). Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số tại điểm ( M )

Ta mang:

(y’= 4x^3-4x Leftrightarrow y” = 12x^2-4)

Vậy (y”(x_0)=8 Leftrightarrow 12x_0^2-4=8 Leftrightarrow left[begin{array}{l} x_0=Một x_0=-1end{array}right.)

Nếu ( x_0 =1 ) thì ta mang phương trình tiếp tuyến là :

(y= y'(x_0)(x-x_0)+y(x_0)=-1)

Tương tự, nếu ( x_0=-1 ) thì phương trình tiếp tuyến là :

( y=-1 )

Vậy phương trình tiếp tuyến tại ( M ) là ( y=-1 )

Những dạng toán tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Đây là dạng bài cơ bản và hay gặp, chúng ta thay hoành độ của tiếp điểm vào công thức phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số là mang thể viết được phương trình tiếp tuyến một cách nhanh chóng.

Via @: nongdanmo.com

Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số ( y=x^3+2x^2 ) tại điểm ( M(1;3) )

Cách 1: Đạo hàm ( y’= 3x^2 +4x )

Thay vào công thức phương trình tiếp tuyến ta được phương trình tiếp tuyến :

( y=(3+4)(x-1)+3 Leftrightarrow y=7x-4 )

Cách 2: 

  • Bài toán viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số lúc biết hệ số góc k chính là dạng bài viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số lúc biết phương. 
  • Với dạng bài này, do hệ số góc ( k= f’(x_0) ) nên ta tìm được tiếp điểm ( (x_0;y_0) ) . Từ đó quy về dạng bài viết phương trình tiếp tuyến lúc biết tiếp điểm.

***Chú ý: Cho đường thẳng ( Delta : y=ax+b ), lúc đó:

  • Đường thẳng song song với ( Delta ) mang hệ số góc là ( a )
  • Đường thẳng vuông góc với ( Delta ) mang hệ số góc là (frac{-1}{a})

Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (y=frac{2x+1}{x+2}) và song song với đường thẳng ( Delta : y=3x+3 )

Đạo hàm (y’=frac{3}{(x+2)^2})

Gọi tiếp điểm là ( M(x_0;y_0) ). Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng ( Delta : y=3x+3 ) nên hệ số góc : (y'(x_0)=3)

(Leftrightarrow frac{3}{(x+2)^2} =3 Leftrightarrow left[begin{array}{l} x=-1x=-3 end{array}right.)

Thay vào công thức ta được hai phương trình tiếp tuyến :

[Latex] y=3x+2 [/latex] và ( y=3x+14 )

  • Bước 1: Gọi ( M(x_0;y_0) là tiếp điểm, viết phương trình tiếp tuyến theo [latex] x;x_0) )
  • Bước 2: Thay tọa độ điểm đi qua vào phương trình trên, giải phương trình tìm được ( x_0 )
  • Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến. 

Cho hàm số ( y=-4x^3+3x+1 ). Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số đi qua điểm ( A(-1;2) )

Ta mang : ( y’=-12x^2+3 )

Giả sử tiếp tuyến cần tìm xúc tiếp với đồ thị tại điểm ( (x_0;y_0) )

Lúc đó phương trình tiếp tuyến là:

( y=(-12x_0^2+3)(x-x_0) -4x_0^3+3x_0+1 )

Vì tiếp tuyến đi qua ( A(-1;2) ) nên thay vào ta được:

(2=(-12x_0^2+3)(-1-x_0) -4x_0^3+3x_0+1)

(Leftrightarrow 8x_0^3+12x_0^2-4=0)

(Leftrightarrow 4(x_0+1)^2(2x_0-1)=0)

(Leftrightarrow left[begin{array}{l}x_0=-1 x_0=frac{1}{2}end{array}right.)

Thay vào ta được hai tiếp tuyến thỏa mãn bài toán là ( y=-9x+7 ) và ( y=2 )

Dạng bài chung là tìm điều kiện của thông số ( m ) để phương trình tiếp tuyến của đồ thị thỏa mãn một điều kiện cho trước.

Với dạng bài này thì ta thường sử dụng tới hệ số góc ( f’(x_0) ) để mang thể tìm điều kiện của thông số.

Cho hàm số ( x^4-2(m+1)x^2+m+2 ) và điểm ( A (1;1-m) ) là điểm thuộc đồ thị hàm số. Tìm ( m ) để tiếp tuyến tại ( A ) của hàm số vuông góc với đường thẳng (Delta x-4y+1 =0)

Ta mang đạo hàm : ( y’ = 4x^3-4(m+1)x )

(Rightarrow) hệ số góc của tiếp tuyến là ( y’(1) = -4m )

Ta mang ( x-4y+1 =0 Leftrightarrow y=frac{x}{4}+frac{1}{4} )

Vậy để tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng ( Delta ) thì hệ số góc của tiếp tuyến phải bằng ( -4 )

(Rightarrow -4m=-4) hay ( m=1 )

Một số bài tập tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Sau đây là một số bài toán tiếp tuyến đồ thị hàm số để những bạn tự tập dượt và làm bài. 

Bài 1:

Cho đồ thị hàm số (y=frac{2x+1}{x+2}). Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số biết nó song song với đường thẳng ( Delta : y=3x+2 )

Đáp số: ( y=3x+14 )

Bài 2:

Viết phương trình đường thẳng tiếp tuyến đồ thị hàm số ( y=-4x^3+3x+1 ) và đi qua điểm ( M(-1;2) )

Đáp số : ( y=-9x-7 ) và ( y=2 )

Bài 3:

Tìm trị giá của thông số ( m ) để đồ thị hàm số (y=frac{2x+3}{x+1}) cắt đường thẳng ( y=2x+m ) tại hai điểm phân biệt thỏa mãn tiếp tuyến của đồ thị tại hai điểm đó song song với nhau

Đáp số : ( m=2 ) hoặc ( m= -2 ) 

  • Giới hạn của hàm số là gì? Lý thuyết, Bài tập và Cách giải 
  • Giới hạn của dãy số lớp 11: Lý thuyết, Bài tập và Những dạng toán

Tu khoa lien quan: 

  • tiếp tuyến đồ thị hàm số lớp 11
  • pt tiếp tuyến đồ thị hàm số
  • phương trình tiếp tuyến lớp 10
  • cách tích hệ số góc k của tiếp tuyến
  • phương trình tiếp tuyến đạo hàm lớp 11
  • chuyên đề tiếp tuyến đồ thị hàm số 12
  • tìm hệ số góc của tiếp tuyến đồ thị hàm số
  • bài tập viết phương trình tiếp tuyến mang lời giải
  • viết phương trình tiếp tuyến đi qua Một điểm lớp 10

Xem chi tiết qua bài giảng dưới đây:

(Nguồn: www.youtube.com)

Article post on: nongdanmo.com

Recommended For You

About the Author: Bảo