Trong chương trình Giáo dục phổ thông tổng thể được xây dựng từ 2018, tam giác vuông cân được xây dựng dựa trên cơ sở vật chất của tam giác cân. Dựa vào tên gọi, ta mang thể thấy tam giác vuông cân là loại tam giác kết hợp giữa tam giác vuông và tam giác cân. Chính vì vậy, tam giác vuông cân sẽ mang đầy đủ tính chất của tam giác vuông và tam giác cân. Vậy thế nào là tam giác vuông cân? Tín hiệu nhận diện tam giác vuông cân? Cách chứng minh tam giác vuông cân?… Chúng ta hãy theo dõi bài viết dưới đây nhé.
1. Nhắc lại về tam giác vuông và tam giác cân
1.1. Tam giác vuông
- Khái niệm: Tam giác vuông là tam giác mang một và chỉ một góc vuông.
- Tính chất: Trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau (hai góc nhọn mang tổng bằng 90°).
Ví dụ 1: Tam giác vuông XYZ vuông tại X mang tổng góc Y và góc Z bằng 90°.
Thật vậy,
1.2. Tam giác cân
- Khái niệm: Tam giác cân là tam giác mang hai cạnh bằng nhau.
- Tính chất: Trong tam giác cân, hai góc kề ở đáy bằng nhau.
- Tín hiệu nhận diện: Để chứng minh một tam giác là tam giác cân, ta mang thể chứng minh hai cạnh hoặc hai góc của tam giác bằng nhau.
Ví dụ 2: Tam giác XYZ cân tại X mang XY = XZ và góc Y = góc Z.
2. Tam giác vuông cân là gì? Tính chất & tín hiệu nhận diện tam giác vuông cân
- Khái niệm tam giác vuông cân: Tam giác vuông cân là tam giác cân mang hai cạnh góc vuông bằng nhau.
- Tính chất tam giác vuông cân: Trong tam giác vuông cân, hai góc nhọn bằng nhau và bằng 45°.
- Tín hiệu nhận diện tam giác vuông cân:
Để chứng minh một tam giác là tam giác vuông cân mang 02 cách:
- Chứng minh một tam giác vuông mang hai cạnh góc vuông bằng nhau.
- Chứng minh một tam giác vuông mang hai góc nhọn bằng nhau.
Ví dụ 3: Tam giác XYZ vuông cân tại X mang XY = XZ và góc Y = góc Z = 45°.
3. Những dạng bài tập liên quan tới tam giác vuông cân
3.1. Dạng 1. Nhận mặt tam giác vuông cân
Bài 1. Cho tam giác XYZ vuông tại X. Chứng minh tam giác XYZ vuông cân tại X nếu
i) Góc Y = 45°;
ii) XY = XZ.
ĐÁP ÁN
i) Xét ∆XYZ mang:
Mà tam giác XYZ lại vuông tại X (giả thiết)
ii) Xét ∆XYZ mang: XY = XZ (giả thiết)
Mà ∆XYZ vuông tại X (giả thiết)
Bài 2. Cho tam giác DEF vuông tại E. Để tam giác DEF là tam giác vuông cân cần thêm điều kiện gì?
ĐÁP ÁN
Để tam giác DEF là tam giác vuông cân
Mà tam giác DEF vuông tại E (giả thiết)
Bài 3. Cho tam giác MNQ cân tại N. Để tam giác MNQ là tam giác vuông cân cần thêm điều kiện gì?
ĐÁP ÁN
Để tam giác MNQ là tam giác vuông cân
Mà tam giác MNQ cân tại N (giả thiết)
hoặc tam giác MNQ cân tại N mang góc M = 45°
hoặc tam giác MNQ cân tại N mang góc P = 45°
3.2. Dạng 2. Vận dụng tính chất của tam giác vuông cân để tính số đo góc hoặc chứng minh những góc bằng nhau hoặc những đoạn thẳng bằng nhau
Bài 4. Cho ∆XYZ vuông cân tại X. Từ X kẻ đường vuông góc với YZ tại H.
a) Chứng minh H là trung điểm của YZ.
b) Chứng minh XH là tia phân giác của góc X.
c) Chứng minh tam giác HXY và HXZ là tam giác vuông cân.
ĐÁP ÁN
a) Vì ∆XYZ vuông cân tại X (gt)
Xét ∆XYH mang:
Chứng minh tương tự
Xét ∆XYH và ∆XZH mang:
b) Vì
c) Xét ∆XYH mang:
Chứng minh tương tự ∆XZH là tam giác vuông cân.
Bài 5. Cho tam giác XYZ vuông cân tại X. Cho YB và ZC là tuần tự là tia phân giác của góc Y và góc Z. Gọi K là giao điểm của YB và ZC.
a) Chứng minh ∆XYB = ∆XZC
b) Chứng minh ∆KYZ là tam giác cân.
c) Chứng minh CB // YZ
ĐÁP ÁN
a) Vì tam giác XYZ vuông cân tại X (giả thiết)
Vì YB là phân giác của góc Y (giả thiết)
Vì ZC là phân giác của góc Z (giả thiết)
Xét ∆XYB và ∆XZC mang:
b) Xét ∆KYZ mang:
c) Vì ∆XYZ vuông cân tại X (gt)
Xét ∆XBC mang XB = XC (do ∆XYB = ∆XZC)
mà Hai góc ở vị trí đồng vị
4. Những bài tập tự luyện về tam giác vuông cân
Bài 1. Cho tam giác XYZ vuông cân tại X. Vẽ ra ngoài tam giác XYZ tam giác cân YZM mang đáy YZ và góc ở đáy 15°. Vẽ tam giác đều XYN (N thuộc nửa mặt phẳng bờ XY chứa Z). Chứng minh ba điểm Y, M, N thẳng hàng.
Bài 2. Cho tam giác XYZ vuông cân tại X. Điểm A ở trong tam giác sao cho góc AYZ = 30° và góc AZY bằng 15°. Chứng minh những tam giác XAZ, XAY cân.
Bài 3. Cho tam giác XYZ vuông cân tại X, cạnh bên bằng 5 và hai điểm A, B bất kỳ. Chứng minh rằng trên những cạnh của tam giác XYZ tồn tại một điểm sao cho tổng những khoảng cách từ đó tới A và B to hơn 7.
Bài 4. Cho tam giác XYZ vuông cân tại X, góc Z bằng 15°. Trên tia YX lấy điểm K sao cho YK = 2XZ. Chứng minh tam giác KYZ cân.
Bài 5. Cho tam giác XYZ vuông cân tại X. Trên nửa mặt phẳng bờ XZ ko chứa điểm Y, kẻ tia Zt sao cho ZX là tia phân giác của góc Yzt. Từ X kẻ XE ⊥ Zt, từ Y kẻ YD ⊥ XE. Gọi XH là đường cao của tam giác XYZ. Chứng minh rằng:
a) X là trung điểm của DE;
b) góc DHE bằng 90°.
Vậy qua bài học này, chúng ta đã củng cố được một số tri thức cơ bản của tam giác vuông cân. Và biết cách chứng minh tam giác vuông cân, cách ứng dụng những tính chất của tam giác vuông cân để tính độ dài những đoạn thẳng, tính số đo góc hoặc chứng minh những đoạn thẳng bằng nhau, những góc bằng nhau. Kỳ vọng bài học này sẽ giúp những em tự tín hơn lúc làm những bài tập về tam giác vuông cân.
Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang
