1. Tứ diện là gì?
Trong hình học, tứ diện còn được gọi là hình chóp tam giác, là một khối đa diện gồm bốn mặt tam giác, sáu cạnh thẳng và bốn góc ở đỉnh. Khối tứ diện là khối đơn giản nhất trong số các khối đa diện lồi thông thường và là khối duy nhất có ít hơn 5 mặt.
Hình tứ diện là một loại hình chóp, là hình đa diện có đáy là đa giác phẳng và các mặt tam giác nối đáy với một điểm chung. Trong trường hợp tứ diện, đáy là một hình tam giác (bất kỳ mặt nào trong số bốn mặt đều có thể được coi là đáy), do đó, tứ diện còn được gọi là “hình chóp tam giác”.
Đối với bất kỳ tứ diện nào cũng tồn tại một mặt cầu (được gọi là mặt cầu ngoại tiếp ) trên đó có tất cả bốn đỉnh và một mặt cầu khác (mặt cầu trong ) tiếp xúc với các mặt của tứ diện
2. Tứ diện đều là gì?
Tứ diện đều là tứ diện có bốn mặt đều là tam giác đều. Nó là một trong năm chất rắn Platonic thông thường , đã được biết đến từ thời cổ đại.
Trong một tứ diện đều, tất cả các mặt đều có cùng kích thước và hình dạng (đồng dạng) và tất cả các cạnh đều có cùng độ dài.
Năm tứ diện được đặt phẳng trên một mặt phẳng, với các điểm 3 chiều cao nhất được đánh dấu là 1, 2, 3, 4 và 5.
Một mình tứ diện đều không xếp thành ô (lấp đầy khoảng trống), nhưng nếu xen kẽ với khối bát diện đều theo tỷ lệ hai tứ diện trên một bát diện, chúng tạo thành tổ ong lập phương xen kẽ , đó là một ô xếp xen kẽ. Một số tứ diện không đều, bao gồm tứ diện Schläfli và tứ diện Hill , có thể xếp thành hình khối .
Tứ diện đều là đối ngẫu, nghĩa là đối ngẫu của nó là một tứ diện đều khác. Hình ghép bao gồm hai tứ diện kép như vậy tạo thành một bát diện hình sao hoặc bát diện hình sao.
Hình tứ diện là một hình chóp đều có bốn mặt là hình tam giác. Điều này có nghĩa là chúng ta có thể tính thể tích của nó bằng cách nhân diện tích đáy của nó với chiều cao của tứ diện và chia cho ba. Ngoài ra, diện tích bề mặt của nó được tính bằng cách cộng diện tích của bốn mặt tam giác.
Sau đây, chúng ta sẽ tìm hiểu về các công thức tính thể tích và diện tích xung quanh của một tứ diện. Chúng ta sẽ học cách rút ra các công thức này và sẽ sử dụng chúng để giải một số bài tập thực hành.
3. Cách tìm thể tích của khối tứ diện:
Vì tứ diện là một hình chóp tam giác nên chúng ta có thể tính diện tích của nó bằng cách nhân diện tích đáy của nó với chiều dài của nó và chia cho 3.
Chứng minh công thức tính thể tích khối tứ diện:
Như chúng tôi đã đề cập trước đó, tứ diện đều là hình chóp tam giác. Ngoài ra, diện tích của bất kỳ kim tự tháp nào cũng có thể được tính bằng cách nhân diện tích đáy của nó với chiều cao của kim tự tháp và chia cho ba. Vì vậy, chúng tôi có:
Trong đó, Ab là diện tích đáy và h là chiều cao của tứ diện.
Đáy của một tứ diện là một tam giác đều và chúng ta biết rằng diện tích của bất kỳ tam giác nào cũng bằng 1/ 2 độ đài đáy nhân với chiều cao. Sau đó chúng ta có:
Ab = ½ a.h
Đáy của tam giác bằng một trong các cạnh của tứ diện là a. Ngoài ra, chiều cao của một tam giác đều bằng h =
trong đó a là độ dài của một trong các cạnh. Vì vậy, chúng ta có:
Cuối cùng, chúng ta có chiều cao của một tứ diện bằng:
Thay thế tất cả điều này vào công thức tính thể tích của một khối tứ diện, chúng ta có:
Vì tứ diện đều là hình chóp có đáy là tam giác nên , nên Thế tích tứ diện đều là
4. Cách tìm diện tích bề mặt của tứ diện:
Vì tứ diện đều là hình chóp tam giác nên cả bốn mặt của chúng đều bằng nhau. Điều này có nghĩa là tất cả các khuôn mặt của họ có hình dạng và kích thước giống nhau. Do đó, chúng ta có thể tính diện tích bề mặt nếu chúng ta biết diện tích của một trong các mặt của tứ diện.
Điều này có nghĩa là chúng ta có:
As = 4At
ở đây , As là diện tích bề mặt của tứ diện và At là diện tích của một trong các mặt tam giác.
Bây giờ, chúng ta có thể tính diện tích của một trong các mặt của một tứ diện là các tam giác đều. Do đó, chúng tôi sử dụng công thức cho diện tích của một tam giác đều :
trong đó a là độ dài của một trong các cạnh.
Thay thế điều này vào công thức diện tích bề mặt tứ diện, chúng ta có:
Diện tích bề mặt của tứ diện chỉ đơn giản là bốn lần diện tích của một mặt tam giác đều duy nhất
Vì thế
Chiều cao của tứ diện đều là
và bán kính và chu vi là
nơi mà nó phải.
Góc nhị diện là
Góc chắn bởi một đỉnh bởi mặt đối diện của một tứ diện đều được cho bởi
VÍ DỤ 1
Nếu một tứ diện có các cạnh dài 3 m thì thể tích của nó là bao nhiêu?
Lời giải:
Để tìm thể tích của khối tứ diện đã cho, chúng ta chỉ cần áp dụng công thức thể tích bằng cách thay a = 3. Vì vậy, chúng ta có:
Thể tích của khối tứ diện là1,06 m3.
VÍ DỤ 2
Diện tích bề mặt của một tứ diện có cạnh dài 5 m là bao nhiêu?
VÍ DỤ 3
Một tứ diện đều có các cạnh dài 20 cm. Tính thể tích của nó.
VÍ DỤ 4
Nếu một tứ diện có các cạnh dài 6 m thì diện tích bề mặt của nó là bao nhiêu?
VÍ DỤ 5
Thể tích của khối tứ diện có cạnh dài 10 m là bao nhiêu?
VÍ DỤ 6
Diện tích bề mặt của một tứ diện có cạnh với chiều dài 12 cm là gì?
VÍ DỤ 7
Nếu thể tích tứ diện bằng 1000 m 3 , độ dài các cạnh của nó là bao nhiêu?
VÍ DỤ 8
Nếu diện tích bề mặt của một tứ diện bằng 300 m2 , độ dài các cạnh của nó là bao nhiêu?
VÍ DỤ 9
Thể tích của khối tứ diện bằng 400 m3. Độ dài các cạnh của nó là bao nhiêu?
VÍ DỤ 10
Nếu diện tích bề mặt của một tứ diện bằng1000 m3, độ dài các cạnh của nó là bao nhiêu?
Bài tập trắc nghiệm
— Cập nhật: 05-04-2023 — nongdanmo.com tìm được thêm bài viết Bỏ túi các công thức tính thể tích tứ diện chuẩn kiến thức từ website vieclam88.vn cho từ khoá diện tích tứ diện.
Thuê gia sư
1. Lý thuyết về các dạng bài toán tính thể tích khối tứ diện
Như chúng ta đã được học về kiến thức lớp dưới, thể tích chính là lượng không gian của một vật đang chiếm. Chúng ta sử dụng m3 là đon vị tính thể tích.
Thế tích của khối tứ diện sẽ được hiểu dựa vào phân tích sau:
– Cho tứ diện ABCD, trong đó bốn mặt của tứ diện chính là các tam giác, tứ diện này sẽ đều khi có 6 cạnh có độ dài bằng nhau và 4 mặt đều là các tam giác đều.
Cho tứ diện ABCD, lúc này Thể tích tứ diện sẽ bằng tích số của Diện tích (kí hiệu S) của mặt đáy nhân (kí hiệu bằng dấu “.”) với chiều cao của khối tứ diện đó.
V = 1/3.SBCD.AH
Trong đó:
– V là thể tích của khối tứ diện.
– S là diện tích của mặt đáy.
– BCD là mặt đáy được quy ước. Trong những trường hợp khác mặt đáy có thể có tên khác.
– AH là chiều cao từ đỉnh chop của khối tứ diện đó xuống đáy (được đo vuông góc với mặt đáy).
2. Các công thức tính thể tích khối tứ diện đặc biệt
Sau đây, vieclam88.vn sẽ chia sẻ với các bạn một số công thức tính thể tích khối tứ diện đặc biệt, nắm được nhiều cách tính, nhiều công thức tính sẽ giúp các bạn dễ dàng áp dụng trong từng trường hợp cụ thể.
2.1. Công thức tính thể tính khối tứ diện chung
Ngoài công thức tính được nêu trên thì chúng ta còn có thêm công thức khác đó là:
– Cho bài toán: Tứ diện ABCD, trong đó cạnh BC dài a (cm), cạnh CA dài b (cm), cạnh AD dài d (cm), cạnh CD dài f (cm), cạnh BD dài e (cm). Lúc này, chúng ta sẽ có công thức tính thể tích khối thứ diện ABCD như sau:
V = 1/12 căn bậc hai của (M + N + P + Q)
Trong đó:
– M = a2.d2.(b2 + e2 + c2 + f2 – a2 – d2).
– N = b2.e2.(a2 + d2 + c2 – b2 – e2)
– P = c2.f2.(a2 + d2 + b2 + e2 – c2 – f2).
– Q = (abc)2 + (aef)2 + (bdf)2 + (ede)2.
2.2. Công thức tính các khối thứ diện đặc biệt khác
2.2.1. Công thức tính thể tích tứ diện đều
Cho tứ diện đều có cạnh là a (cm), chúng ta sẽ có công thức tính thể tích khối tứ diện đều có cạnh là a như sau:
V = 1/2 (an pha bình phương nhân căn bậc 2 của 2)
2.2.2. Công thức tính thể tích tứ diện vuông
Tứ diện vuông có các góc nằm tại cùng một đỉnh của tứ diện là góc vuông, trong đó giả sử đặt tên tứ diện vuông là ABCD với AB, AC,AD cứ đôi một lại vuông góc với nhau, độ dài của 3 cạnh đó lần lượt là a, b, c. Khi đó ta có công thức tính thể tích tứ diện vuông ABCD như sau:
V = 1/6.abc
2.2.3. Công thức tính thể tích tứ diện gần đều
Tứ diện gần đều chính là tứ diện có các cặp cạnh đối có độ dài tương ứng bằng nhau. Giả sử cho tứ diện ABCD, các cạnh AB = CD = a (cm), các cạnh BC = AD = b (cm), các cạnh AC = BD = c (cm).
2.2.4. Công thức tính thể tích của tứ diện khi biết diện tích 2 mặt kề nhau
Với dạng này thì có phần phức tạp hơn, do đó các bạn cần phải nắm chắc kiến thức của các yếu tố trong công thức. Giả sử có tứ diện ABCD trong đó Diện tích của mặt 1 là diện tích CAB (S1), diện tích mặt 2 là diện tích DAB (S2), an pha =((CAB),(DAB)), AB = an pha.
Khi đó ta có công thức để tính thể tích của khối tứ diện dạng này như sau:
V = 2/3.S1.S2.(Sin an pha/an pha)
Trên đây là một số các công thức tính thể tính tứ diện thường gặp mà các bạn cần phải nắm bắt được. Chúng ta sẽ cùng tìm hiểu một vài ví dụ về các bài tập của dạng bài toán tính thể tích của khối tứ diện cụ thể ở phần tiếp theo.
3. Một số ví dụ về bài tập tính thể tích tứ diện
Có vô số các bài tập tính thể tích khối tứ diện, chúng ta sẽ lấy ví dụ về một số bài tập để hiểu cách giải và áp dụng cho nhiều trường hợp khác nhé.
Bài số 1:
Cho tứ diện ABCD, trong đó AB = 2cm, AC = 3cm, cạnh AD – cạnh BC và bằng 4cm, cạnh BD = căn bậc 2 của 5cm, cạnh BD = 5cm. Bạn hãy tính thể tích của tứ diện ABCD.
Cách giải bài toán như sau:
Như vậy, trên đây chính là những thông tin quan trọng giúp các bạn nắm rõ được các công thức tính thể tích tứ diện thường gặp trong các dạng bài tập, bất cứ bạn học sinh nào chuẩn bị học, đang học hoặc đã học qua rồi đều cần nắm được. Cùng với những chia sẻ trong bài viết, hy vọng các bạn sẽ luôn làm tốt bài tập về tính thể tích khối tứ diện.
— Cập nhật: 10-04-2023 — nongdanmo.com tìm được thêm bài viết TỨ DIỆN ĐỀU – Công thức tính thể tích tứ diện đều cạnh a từ website itqnu.vn cho từ khoá diện tích tứ diện.
Trong chương trình toán hình học lớp 12 và nội dung của kỳ thi THPT Quốc Gia. Thì các kiến thức về khối đa diện là rất quan trọng và chiếm một phần kiến thức rất lớn.
Trong phạm trù kiến thức về khối đa diện thì việc tính thể tích tứ diện đều là một nội dung không thể nào bỏ qua. Hiểu được tầm quan trọng của nó, ngay sau đây ITQNU xin được chia sẻ đến các bạn học sinh những kiến thức về tứ diện đều. Cũng như các cách tính thể tích tứ diện đều một cách chính xác nhất.
Khái niệm về tứ diện và tứ diện đều
Đầu tiên chúng ta sẽ phân ra 2 định nghĩa riêng biệt. Bao gồm khái niệm về hình tứ diện và hình tứ diện đều. Do đó, để giúp các bạn có thể hiểu chính xác hơn. Thì chúng ta sẽ đi định nghĩa từng loại hình sau đây:
1. Tứ diện là gì?
Hình tứ diện là hình có bốn đỉnh và thường được đặt với ký hiệu là A, B, C, D. Trong đó, với bất kỳ điểm nào trong số các điểm A, B, C, D cũng được xem là đỉnh của tứ diện. Mặt tam giác đối diện với đỉnh sẽ được gọi là mặt đáy. Ví dụ, nếu chọn B là đỉnh của tứ diện thì mặt đáy sẽ là (ACD).
Hay còn hiểu theo một cách gắn gọn khác thì trong không gian nếu cho 4 điểm không đồng phẳng gồm A, B, C, D. Thì khi đó khối đa diện có 4 đỉnh A, B, C, D gọi là khối tứ diện. Và được ký hiệu là ABCD.
2. Tứ diện đều là gì?
Nếu một hình tứ diện có các mặt bên là các tam giác đều thì đây được gọi là hình tứ diện đều. Và tứ diện đều được xem là một trong 5 khối đa diện đều.
Các tính chất của tứ diện đều
Tứ diện đều có các tính chất như sau:
- Bốn mặt xung quanh là các tam giác đều bằng nhau
- Các mặt của tứ diện là những tam giác có ba góc đều nhọn.
- Tổng các góc tại một đỉnh bất kì của tứ diện là 180.
- Hai cặp cạnh đối diện trong một tứ diện có độ dài bằng nhau
- Tất cả các mặt của tứ diện đều tương đương nhau.
- Bốn đường cao của tứ diện đều có độ dài bằng nhau.
- Tâm của các mặt cầu nội tiếp và ngoại tiếp nhau, trùng với tâm của tứ diện.
- Hình hộp ngoại tiếp tứ diện là hình hộp chữ nhật
- Các góc phẳng nhị diện ứng với mỗi cặp cạnh đối diện của tứ diện bằng nhau.
- Đoạn thẳng nối trung điểm của các cạnh đối diện là một đường thẳng đứng vuông góc của cả hai cạnh đó
- Một tứ diện có ba trục đối xứng
- Tổng các cos của các góc phẳng nhị diện chứa cùng một mặt của tứ diện bằng 1.
Cách vẽ hình tứ diện đều
Bất kỳ khi giải một bài toán liên quan tới hình tứ diện đều nào cũng vậy. Điều quan trọng nhất là chúng ta phải vẽ chính xác hình tứ diện đều. Từ đó chúng ta mới có một cái hình tổng thể và đưa ra các phương pháp giải chính xác nhất. Và sau đây sẽ là cách vẽ hình tứ diện đều chi tiết nhất:
- Bước 1: Đầu tiên các bạn hãy xem hình tứ diện đều là môt hình chóp tam giác đều A.BCD.
- Bước 2: Tiến hành vẽ mặt là cạnh đáy ví dụ là mặt BCD.
- Bước 3: Tiếp theo các bạn tiến hành vẽ một đường trung tuyến của mặt đáy BCD. Ví dụ đường trung tuyến này là BM.
- Bước 4: Sau đó các bạn tiến hành xác định trọng tâm G của tam giác BCD này. Khi đó G chính là tâm của đáy BCD.
- Bước 5: Tiến hành dựng đường cao .
- Bước 6: Xác định điểm A trên đường vừa dựng và hoàn thiện hình tứ diện đều.
Sau khi các bạn đã biết cách vẽ hình tứ diện đều rồi. Thì tiếp theo bài học chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu về công thức tính thể tích tứ diện đều nhé.
Công thức tính thể tích tứ diện đều cạnh a
Một tứ diện đều sẽ có 6 cạnh bằng nhau và 4 mặt tam giác đều sẽ có các công thức tính thể tích như sau:
- Thể tích tứ diện ABCD: Thể tích của một khối tứ diện bằng một phần ba tích số của diện tích mặt đáy và chiều cao của khối tứ diện tương ứng: V = ⅓ x S (BCD) x AH
- Thể tích tứ diện đều tam giác S.ABC: Thể tích của một khối chóp bằng một phần ba tích số của diện tích mặt đáy và chiều cao của khối chóp đó: V = ⅓ x B x h
Ví dụ minh họa
Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh a.
Lời giả:
Giả sử ABCD là khối tứ diện đều cạnh a. G là trọng tâm tam giác BCD (hình trên).
Cuối cùng tổng kết lại thì để tính thể tích tứ diện đều cạnh a. Thì ta sẽ có công thức sau đây:
Các dạng bài tập mẫu về tứ diện đều
Quy tắc tìm các mặt phẳng đối xứng. Trong tứ diện đều, do có tính chất đối xứng nhau. Do đó ta cứ đi từ trung điểm các cạnh ra mà tìm. Nếu bạn chọn một mặt phẳng đối xứng, hãy đảm bảo rằng các điểm còn lại được chia đều về hai phía
Ví dụ 1: tìm số mặt phẳng đối xứng của hình tứ diện đều.
Lời giải: Các mặt phẳng đối xứng của hình tứ diện đều là các mặt phẳng chứa một cạnh và qua trung điểm cạnh đối diện. Vì vậy, hình tứ diện đều sẽ có 6 mặt phẳng đối xứng.
Ví dụ 2: Cho hình chóp đều S.ABCD (đáy là hình vuông), đường SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Xác định hình chóp này có mặt đối xứng nào.
Lời giải:
Ta có: BD vuông góc với AC, BD vuông góc với SA. Suy ra, BD vuông góc với (SAC). Từ đó ta suy ra (SAC) là mặt phẳng trung trực của BD. Ta kết luận rằng, (SAC) là mặt đối xứng của hình chóp và đây là mặt phẳng duy nhất.
Tổng kết
Như vậy, ITQNU vừa chia sẻ đến bạn kiến thức về tứ diện đều. Cũng như cách tính thể tích tứ diện đều. Trong chương trình toán hình học lớp 12 và nội dung của kỳ thi THPT Quốc Gia. Thì kiến thức về tứ diện đều là quan trọng. Hy vọng qua bài viết, các bạn học sinh có thêm nhiều kiến thức về tứ diện đều.
— Cập nhật: 12-04-2023 — nongdanmo.com tìm được thêm bài viết [Vted.vn] – Công thức tổng quát tính thể tích của một khối tứ diện bất kì và các trường hợp đặc biệt từ website vted.vn cho từ khoá diện tích tứ diện.
Bài viết này Vted tổng hợp và giới thiệu lại một số công thức tính nhanh thể tích của khối tứ diện cho một số trường hợp đặc biệt hay gặp
Đồng thời trình bày công thức tổng quát tính thể tích cho khối tứ diện bất kì khi biết độ dài tất cả 6 cạnh của tứ diện. Việc ghi nhớ các công thức này giúp các em giải quyết nhanh một số dạng bài khó về thể tích khối tứ diện trong đề thi THPT Quốc Gia 2019 – Môn Toán.
Bài viết này trích lược một số công thức nhanh hay dùng cho khối tứ diện. Các công thức nhanh khác liên quan đến thể tích khối tứ diện và thể tích khối lăng trụ bạn đọc tham khảo khoá COMBO X do Vted phát hành tại đây https://vted.vn/khoa-hoc/nhom/combo-4-khoa-luyen-thi-thpt-quoc-gia-2023-mon-toan-danh-cho-teen-2k5-18
>>Xem thêm Thể tích khối chóp cụt và ứng dụng
>>Xem đề thi Thể tích tứ diện và các trường hợp đặc biệt
>>Xem thêm bài giảng và đề thi vận dụng cao Thể tích đa diện
>>Xem thêm Tóm tắt lý thuyết và Nón – trụ – Cầu
Công thức tổng quát: Khối tứ diện $ABCD$ có $BC=a,CA=b,AB=c,AD=d,BD=e,CD=f$ ta có công thức tính thể tích của tứ diện theo sáu cạnh như sau: [V=dfrac{1}{12}sqrt{M+N+P-Q},] trong đó [begin{align} & M={{a}^{2}}{{d}^{2}}({{b}^{2}}+{{e}^{2}}+{{c}^{2}}+{{f}^{2}}-{{a}^{2}}-{{d}^{2}}) \ & N={{b}^{2}}{{e}^{2}}({{a}^{2}}+{{d}^{2}}+{{c}^{2}}+{{f}^{2}}-{{b}^{2}}-{{e}^{2}}) \ & P={{c}^{2}}{{f}^{2}}({{a}^{2}}+{{d}^{2}}+{{b}^{2}}+{{e}^{2}}-{{c}^{2}}-{{f}^{2}}) \ & Q={{(abc)}^{2}}+{{(aef)}^{2}}+{{(bdf)}^{2}}+{{(cde)}^{2}} \ end{align}]
Công thức 1: Khối tứ diện đều
Khối tứ diện đều cạnh $a,$ ta có $V=dfrac{{{a}^{3}}sqrt{2}}{12}.$
Ví dụ 1: Cho tứ diện đều có chiều cao bằng [h]. Thể tích của khối tứ diện đã cho là
A. [V=dfrac{sqrt{3}{{h}^{3}}}{4}].
B. [V=dfrac{sqrt{3}{{h}^{3}}}{8}].
C. [V=dfrac{sqrt{3}{{h}^{3}}}{3}].
D. [V=dfrac{2sqrt{3}{{h}^{3}}}{3}].
Giải. Thể tích tứ diện đều cạnh $a$ là $V=frac{sqrt{2}{{a}^{3}}}{12}.$
Chiều cao tứ diện đều là $h=frac{3V}{S}=frac{3left( frac{sqrt{2}{{a}^{3}}}{12} right)}{frac{sqrt{3}{{a}^{2}}}{4}}=sqrt{frac{2}{3}}aRightarrow a=sqrt{frac{3}{2}}h.$
Vì vậy $V=frac{sqrt{2}}{12}{{left( sqrt{frac{3}{2}}h right)}^{3}}=frac{sqrt{3}{{h}^{3}}}{8}.$ Chọn đáp án B.
Công thức 2: Khối tứ diện vuông (các góc tại một đỉnh của tứ diện là góc vuông)
Với tứ diện $ABCD$ có $AB,AC,AD$ đôi một vuông góc và $AB=a,AC=b,AD=c,$ ta có $V=dfrac{1}{6}abc.$
Công thức 3: Khối tứ diện gần đều (các cặp cạnh đối tương ứng bằng nhau)
Với tứ diện $ABCD$ có $AB=CD=a,BC=AD=b,AC=BD=c$ ta có [V=dfrac{sqrt{2}}{12}.sqrt{({{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{c}^{2}})({{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{a}^{2}})({{a}^{2}}+{{c}^{2}}-{{b}^{2}})}.]
Ví dụ 1: Chokhối tứ diện $ABCD$có $AB=CD=8,AD=BC=5$ và $AC=BD=7.$ Thể tích khối tứ diện đã cho bằng
A. $frac{sqrt{30}}{3}.$ |
B. $frac{20sqrt{11}}{3}.$ |
C. $sqrt{30}.$ |
D. $20sqrt{11}.$ |
Giải. Ta có ${{V}_{ABCD}}=frac{sqrt{2}}{12}sqrt{({{8}^{2}}+{{5}^{2}}-{{7}^{2}})({{5}^{2}}+{{7}^{2}}-{{8}^{2}})({{7}^{2}}+{{8}^{2}}-{{5}^{2}})}=frac{20sqrt{11}}{3}.$ Chọn đáp án B.
Ví dụ 2: Cho tứ diện $ABCD$ có $AB=CD=8,AD=BC=5$ và $AC=BD=7.$ Gọi $M$ là trung điểm cạnh $AB.$Khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(CMD)$bằng
A. $frac{sqrt{31}}{2}.$ |
B. $frac{sqrt{55}}{2}.$ |
C. $frac{sqrt{21}}{2}.$ |
D. $frac{sqrt{33}}{2}.$ |
Giải. Ta có ${{V}_{AMCD}}=frac{AM}{AB}{{V}_{ABCD}}=frac{1}{2}{{V}_{ABCD}}=frac{sqrt{2}}{24}sqrt{({{8}^{2}}+{{5}^{2}}-{{7}^{2}})({{5}^{2}}+{{7}^{2}}-{{8}^{2}})({{7}^{2}}+{{8}^{2}}-{{5}^{2}})}=frac{10sqrt{11}}{3}.$
Tam giác $MCD$ có $CD=8$ và theo công thức đường trung tuyến ta có:
$MC=sqrt{frac{2(C{{A}^{2}}+C{{B}^{2}})-A{{B}^{2}}}{4}}=sqrt{frac{2({{7}^{2}}+{{5}^{2}})-{{8}^{2}}}{4}}=sqrt{21}.$
và $MD=sqrt{frac{2(D{{A}^{2}}+D{{B}^{2}})-A{{B}^{2}}}{4}}=sqrt{frac{2({{5}^{2}}+{{7}^{2}})-{{8}^{2}}}{4}}=sqrt{21}.$
Vậy ${{S}_{MCD}}=4sqrt{5}.$ Do đó $d(A,(MCD))=frac{3{{V}_{AMCD}}}{{{S}_{MCD}}}=frac{10sqrt{11}}{4sqrt{5}}=frac{sqrt{55}}{2}.$ Chọn đáp án B.
Ví dụ 3: Khối tứ diện $ABCD$ có $AB=CD=5a,AC=BD=6a,AD=BC=7a$ có thể tích bằng
A. $sqrt{95}{{a}^{3}}.$
B. $8sqrt{95}{{a}^{3}}.$
C. $2sqrt{95}{{a}^{3}}.$
D. $4sqrt{95}{{a}^{3}}.$
Giải. Áp dụng công thức tính thể tích khối tứ diện gần đều có
${{V}_{ABCD}}=dfrac{sqrt{2}}{12}sqrt{left( {{5}^{2}}+{{6}^{2}}-{{7}^{2}} right)left( {{6}^{2}}+{{7}^{2}}-{{5}^{2}} right)left( {{7}^{2}}+{{5}^{2}}-{{6}^{2}} right)}{{a}^{3}}=2sqrt{95}{{a}^{3}}.$
Chọn đáp án C.
Công thức 4: Khối tứ diện có khoảng cách và góc giữa cặp cạnh đối diện của tứ diện
Tứ diện $ABCD$ có $AD=a,BC=b,d(AD,BC)=d,(AD,BC)=alpha ,$ ta có $V=dfrac{1}{6}abdsin alpha .$
Ví dụ 1.Cho khối tứ diện $ABCD$ có $AB=AC=BD=CD=1.$ Khi thể tích khối tứ diện $ABCD$ đạt giá trị lớn nhất thì khoảng cách giữa hai đường thẳng $AD$ và $BC$ bằng
A. $frac{2}{sqrt{3}}.$ |
B. $frac{1}{sqrt{3}}.$ |
C. $frac{1}{sqrt{2}}.$ |
D. $frac{1}{3}.$ |
>>Lời giải chi tiết:
Ví dụ 2: Cho hai mặt cầu $({{S}_{1}}),({{S}_{2}})$ có cùng tâm $I$ và bán kính lần lượt ${{R}_{1}}=2,{{R}_{2}}=sqrt{10}.$ Xét tứ diện $ABCD$ có hai đỉnh $A,B$ nằm trên $({{S}_{1}});$ hai đỉnh $C,D$ nằm trên $({{S}_{2}}).$ Thể tích khối tứ diện $ABCD$ có giá trị lớn nhất bằng
A. $3sqrt{2}.$
B. $2sqrt{3}.$
C. $6sqrt{3}.$
D. $6sqrt{2}.$
Giải. Gọi $a,b$ lần lượt là khoảng cách từ tâm $I$ đến hai đường thẳng $AB,CD.$
Ta có $AB=2sqrt{R_{1}^{2}-{{a}^{2}}}=2sqrt{4-{{a}^{2}}};CD=2sqrt{R_{2}^{2}-{{b}^{2}}}=2sqrt{10-{{b}^{2}}}$ và $d(AB,CD)le d(I,AB)+d(I,CD)=a+b$ và $sin (AB,CD)le 1.$
Do đó áp dụng công thức tính thể tích tứ diện theo khoảng cách chéo nhau của cặp cạnh đối diện có:
$begin{gathered} {V_{ABCD}} = frac{1}{6}AB.CD.d(AB,CD).sin (AB,CD) leqslant frac{2}{3}(a + b)sqrt {4 – {a^2}} sqrt {10 – {b^2}} \ = frac{2}{3}left( {asqrt {4 – {a^2}} sqrt {10 – {b^2}} + bsqrt {10 – {b^2}} sqrt {4 – {a^2}} } right) = frac{2}{3}left( {sqrt {4{a^2} – {a^4}} sqrt {10 – {b^2}} + sqrt {frac{{10{b^2} – {b^4}}}{2}} sqrt {8 – 2{a^2}} } right) \ leqslant frac{2}{3}sqrt {left( {4{a^2} – {a^4} + 8 – 2{a^2}} right)left( {10 – {b^2} + frac{{10{b^2} – {b^4}}}{2}} right)} = frac{2}{3}sqrt {left( { – {{({a^2} – 1)}^2} + 9} right)left( { – frac{1}{2}{{({b^2} – 4)}^2} + 18} right)} leqslant frac{2}{3}sqrt {9.18} = 6sqrt 2 . \ end{gathered} $
Dấu bằng đạt tại $(a;b)=(1;2).$ Chọn đáp án D.
Ví dụ 3: Cho một hình trụ có thiết diện qua trục là một hình vuông cạnh bằng $a.$ Biết rằng $AB$ và $CD$ là hai đường kính tương ứng của hai đáy và góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $CD$ bằng $30{}^circ .$ Tính thể tích khối tứ diện $ABCD.$
|
A. $frac{{{a}^{3}}}{12}.$ |
B. $frac{{{a}^{3}}sqrt{3}}{6}.$ |
C. $frac{{{a}^{3}}}{6}.$ |
D. $frac{{{a}^{3}}sqrt{3}}{12}.$ |
Có $h=2r=a;{{V}_{ABCD}}=frac{1}{6}AB.CD.d(AB,CD).sin (AB,CD)=frac{1}{3}.2r.2r.h.sin {{30}^{0}}=frac{{{a}^{3}}}{6}.$ Chọn đáp án C.
Ví dụ 4: Một người thợ có một khối đá hình trụ. Kẻ hai đường kính $MN,text{ }PQ$ lần lượt trên hai đáy sao cho $MNbot PQ.$ Người thợ đó cắt khối đá theo các mặt cắt đi qua $3$ trong $4$ điểm $M,text{ }N,text{ }P,text{ }Q$ để thu được khối đá có hình tứ diện $MNPQ.$ Biết rằng thể tích khối tứ diện $MNPQ$ bằng $64text{ }d{{m}^{3}}.$ Tính thể tích của lượng đá bị cắt bỏ (làm tròn kết quả đến $1$ chữ số thập phân).
|
A. $86,8text{ }d{{m}^{3}}.$ |
B. $237,6text{ }d{{m}^{3}}.$ |
C. $338,6text{ }d{{m}^{3}}.$ |
D. $109,6text{ }d{{m}^{3}}.$ |
Giải. Áp dụng công thức tính thể tích tứ diện theo khoảng cách và góc giữa cặp cạnh đối ta có
${{V}_{MNPQ}}=dfrac{1}{6}MN.PQ.dleft( MN,PQ right).sin left( MN,PQ right)=dfrac{1}{6}.2r.2r.h.sin {{90}^{0}}=dfrac{2}{3}{{r}^{2}}h=dfrac{2}{3pi }V{{T}_{T}}$
Thể tích lượng đá bị cắt bỏ là ${{V}_{T}}-{{V}_{MNPQ}}=left( dfrac{3pi }{2}-1 right){{V}_{MNPQ}}approx 237,6text{ d}{{text{m}}^{text{3}}}.$ Chọn đáp án B.
Công thức 5: Khối tứ diện biết diện tích hai mặt kề nhau
Ví dụ 1: Cho khối chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A,AB=a,widehat{SBA}=widehat{SCA}=90{}^circ ,$ góc giữa hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SAC)$ bằng $60{}^circ .$ Thể tích của khối chóp đã cho bằng
A. ${{a}^{3}}.$
B. $frac{{{a}^{3}}}{3}.$
C. $frac{{{a}^{3}}}{2}.$
D. $frac{{{a}^{3}}}{6}.$
Lời giải chi tiết. Gọi $H=mathbf{h/c(S,(ABC))}$ ta có $left{ begin{gathered} AB bot SB hfill \ AB bot SH hfill \ end{gathered} right. Rightarrow AB bot (SBH) Rightarrow AB bot BH;left{ begin{gathered} AC bot SC hfill \ AC bot SH hfill \ end{gathered} right. Rightarrow AC bot (SCH) Rightarrow AC bot CH.$ Kết hợp với $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A,AB=a$ suy ra $ABHC$ là hình vuông.
Đặt $h=SHRightarrow {{V}_{S.ABC}}=frac{1}{3}{{S}_{ABC}}.SH=frac{{{a}^{2}}h}{6}(1).$
Mặt khác ${{V}_{S.ABC}}=frac{2{{S}_{SAB}}.{{S}_{SAC}}.sin left( (SAB),(SAC) right)}{3SA}=frac{2left( frac{asqrt{{{a}^{2}}+{{h}^{2}}}}{2} right)left( frac{asqrt{{{a}^{2}}+{{h}^{2}}}}{2} right)frac{sqrt{3}}{2}}{3sqrt{2{{a}^{2}}+{{h}^{2}}}}(2).$
Từ (1) và (2) suy ra $h=aRightarrow V=frac{{{a}^{3}}}{6}.$ Chọn đáp án D.
Ví dụ 2: Cho tứ diện $ABCD$ có $widehat{ABC}=widehat{BCD}=widehat{CDA}={{90}^{0}},BC=a,CD=2a,cos left( (ABC),(ACD) right)=dfrac{sqrt{130}}{65}.$ Thể tích khối tứ diện $ABCD$ bằng
A. $frac{{{a}^{3}}}{3}.$
B. ${{a}^{3}}.$
C. $frac{2{{a}^{3}}}{3}.$
D. $3{{a}^{3}}.$
Lời giải chi tiết. Gọi $H=mathbf{h/c(A,(BCD))}.$ Đặt $AH=hRightarrow {{V}_{ABCD}}=frac{1}{3}{{S}_{BCD}}.AH=frac{1}{3}.frac{1}{2}CB.CD.AH=frac{{{a}^{2}}h}{3}(1).$
Ta có $left{ begin{gathered} CB bot BA hfill \ CB bot AH hfill \ end{gathered} right. Rightarrow CB bot (ABH) Rightarrow CB bot HB.$ Tương tự $left{ begin{gathered} CD bot DA hfill \ CD bot AH hfill \ end{gathered} right. Rightarrow CD bot (ADH) Rightarrow CD bot HD.$
Kết hợp với $widehat{BCD}={{90}^{0}}Rightarrow HBCD$ là hình chữ nhật.
Suy ra $AB=sqrt{A{{H}^{2}}+H{{B}^{2}}}=sqrt{{{h}^{2}}+4{{a}^{2}}},AD=sqrt{A{{H}^{2}}+H{{D}^{2}}}=sqrt{{{h}^{2}}+{{a}^{2}}};AC=sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=sqrt{{{h}^{2}}+5{{a}^{2}}}.$
Suy ra ${{S}_{ABC}}=frac{1}{2}AB.BC=frac{asqrt{{{h}^{2}}+4{{a}^{2}}}}{2};{{S}_{ACD}}=frac{1}{2}AD.DC=asqrt{{{h}^{2}}+{{a}^{2}}}.$
Suy ra ${{V}_{ABCD}}=frac{2{{S}_{ABC}}.{{S}_{ACD}}.sin left( (ABC),(ACD) right)}{3AC}=frac{{{a}^{2}}sqrt{{{h}^{2}}+4{{a}^{2}}}sqrt{{{h}^{2}}+{{a}^{2}}}}{3sqrt{{{h}^{2}}+5{{a}^{2}}}}sqrt{1-{{left( frac{sqrt{130}}{65} right)}^{2}}}(2).$
Kết hợp (1), (2) suy ra: $h=3aRightarrow {{V}_{ABCD}}={{a}^{3}}.$ Chọn đáp án B.
Ví dụ 3: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thoi cạnh $a,widehat{ABC}={{120}^{0}}.$ Cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy và góc giữa hai mặt phẳng $(SBC),(SCD)$ bằng ${{60}^{0}},$ khi đó $SA$ bằng
|
A. $dfrac{sqrt{6}a}{4}.$ |
B. $sqrt{6}a.$ |
C. $dfrac{sqrt{6}a}{2}.$ |
D. $dfrac{sqrt{3}a}{2}.$ |
Mặt khác ${{V}_{S.BCD}}=dfrac{2{{S}_{SBC}}.{{S}_{SCD}}.sin left( (SBC),(SCD) right)}{3SC}=dfrac{2{{left( dfrac{sqrt{4{{x}^{2}}+3}}{4} right)}^{2}}dfrac{sqrt{3}}{2}}{3sqrt{{{x}^{2}}+3}}(2).$
Trong đó $BC=1,SB=sqrt{{{x}^{2}}+1},SC=sqrt{{{x}^{2}}+3}Rightarrow {{S}_{SBC}}=dfrac{sqrt{4{{x}^{2}}+3}}{4};Delta SBC=Delta SDC(c-c-c)Rightarrow {{S}_{SCD}}=dfrac{sqrt{4{{x}^{2}}+3}}{4}.$
Từ (1) và (2) suy ra [x=dfrac{sqrt{6}}{4}.] Chọn đáp án A.
Ví dụ 4: Cho tứ diện $ABCD$ có $ABC$ và $ABD$ là tam giác đều cạnh bằng $a.$ Thể tích khối tứ diện $ABCD$ có giá trị lớn nhất bằng
|
A. $dfrac{{{a}^{3}}}{8}.$ |
B. $dfrac{{{a}^{3}}sqrt{2}}{12}.$ |
C. $dfrac{{{a}^{3}}sqrt{3}}{8}.$ |
D. $dfrac{{{a}^{3}}sqrt{3}}{12}.$ |
Có ${{V}_{ABCD}}=dfrac{2{{S}_{ABC}}{{S}_{ABD}}sin left( (ABC),(ABD) right)}{3AB}=dfrac{2left( dfrac{sqrt{3}{{a}^{2}}}{4} right)left( dfrac{sqrt{3}{{a}^{2}}}{4} right)}{3a}sin left( (ABC),(ABD) right)le dfrac{2left( dfrac{sqrt{3}{{a}^{2}}}{4} right)left( frac{sqrt{3}{{a}^{2}}}{4} right)}{3a}=dfrac{{{a}^{3}}}{8}.$
Dấu bằng đạt tại $(ABC)bot (ABD).$ Chọn đáp án A.
Ví dụ 5: Cho lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}’$ có diện tích tam giác ${A}’BC$ bằng $4,$ khoảng cách từ $A$ đến $BC$ bằng $3,$ góc giữa hai mặt phẳng $left( {A}’BC right)$ và $left( {A}'{B}'{C}’ right)$ bằng $30{}^circ .$ Thể tích khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}’$ bằng
A. $3sqrt{3}.$ B. $6.$ C. $2.$ D. $12.$
Giải. Áp dụng công thức tính thể tích tứ diện cho trường hợp biết góc và diện tích của hai mặt
${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}’}}=3{{V}_{{A}’.ABC}}=3left( dfrac{2{{S}_{{A}’BC}}.{{S}_{ABC}}.sin left( left( {A}’BC right),left( ABC right) right)}{3BC} right)$
$=dfrac{{{S}_{{A}’BC}}.dleft( A,BC right).BC.sin left( left( {A}’BC right),left( ABC right) right)}{BC}={{S}_{{A}’BC}}.dleft( A,BC right).sin left( left( {A}’BC right),left( ABC right) right)=4.3.dfrac{1}{2}=6.$ Chọn đáp án B.
Công thức 6:Mở rộng cho khối chóp có diện tích mặt bên và mặt đáy
Khối chóp $S.{{A}_{1}}{{A}_{2}}…{{A}_{n}}$ có $V=dfrac{2{{S}_{S{{A}_{1}}{{A}_{2}}}}.{{S}_{{{A}_{1}}{{A}_{2}}…{{A}_{n}}}}.sin left( (S{{A}_{1}}{{A}_{2}}),({{A}_{1}}{{A}_{2}}…{{A}_{n}}) right)}{3{{A}_{1}}{{A}_{2}}}.$
Công thức 7: Khối tứ diện khi biết các góc tại cùng một đỉnh
Khối chóp $S.ABC$ có $SA=a,SB=b,SC=c,widehat{BSC}=alpha ,widehat{CSA}=beta ,widehat{ASA}=gamma .$
Khi đó $V=dfrac{abc}{6}sqrt{1+2cos alpha cos beta cos gamma -{{cos }^{2}}alpha -{{cos }^{2}}beta -{{cos }^{2}}gamma }.$
Ví dụ 1: Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA=a,SB=2a,SC=4a$ và $widehat{ASB}=widehat{BSC}=widehat{CSA}={{60}^{0}}.$ Tính thể tích khối chóp $S.ABC$ theo $a.$
A. $dfrac{8{{a}^{3}}sqrt{2}}{3}.$
B. $dfrac{2{{a}^{3}}sqrt{2}}{3}.$
C. $dfrac{{{a}^{3}}sqrt{2}}{3}.$
D. $dfrac{4{{a}^{3}}sqrt{2}}{3}.$
Giải. Áp dụng công thức tính thể tích tứ diện theo các góc tại một đỉnh ta có
${{V}_{S.ABC}}=dfrac{1}{6}SA.SB.SCsqrt{1+2cos widehat{ASB}cos widehat{BSC}cos widehat{CSA}-{{cos }^{2}}widehat{ASB}-{{cos }^{2}}widehat{BSC}-{{cos }^{2}}widehat{CSA}}$
$=dfrac{1}{6}a.2a.4asqrt{1+2left( dfrac{1}{2} right)left( dfrac{1}{2} right)left( dfrac{1}{2} right)-{{left( dfrac{1}{2} right)}^{2}}-{{left( dfrac{1}{2} right)}^{2}}-{{left( dfrac{1}{2} right)}^{2}}}=dfrac{2sqrt{2}}{3}{{a}^{3}}.$
Chọn đáp án B.
https://vted.vn/tin-tuc/cong-thuc-tong-quat-tinh-the-tich-cua-mot-khoi-tu-dien-bat-ki-va-cac-truong-hop-dac-biet-4345.html
Cách 2:
Ví dụ 2: Cho khối lăng trụ [ABC.{A}'{B}'{C}’] có $widehat{A{A}’B}=widehat{B{A}’C}=widehat{C{A}’A}={{60}^{0}}$ và $A{A}’=3a,B{A}’=4a,C{A}’=5a.$ Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng
|
A. $10sqrt{2}{{a}^{3}}.$ |
B. $15sqrt{2}{{a}^{3}}.$ |
C. $5sqrt{2}{{a}^{3}}.$ |
D. $30sqrt{2}{{a}^{3}}.$ |
Giải. Ta có ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}’}}=3{{V}_{{A}’.ABC}}$ và áp dụng công thức tính thể tích khối tứ diện theo các góc tại một đỉnh ta được
$=3.dfrac{1}{6}{A}’A.{A}’B.{A}’Csqrt{1+2cos widehat{A{A}’B}cos widehat{B{A}’C}cos widehat{C{A}’A}-{{cos }^{2}}widehat{A{A}’B}-{{cos }^{2}}widehat{B{A}’C}-{{cos }^{2}}widehat{C{A}’A}}$
$=dfrac{1}{2}.3a.4a.5asqrt{1+2{{left( dfrac{1}{2} right)}^{3}}-3{{left( dfrac{1}{2} right)}^{2}}}=15sqrt{2}{{a}^{3}}.$ Chọn đáp án B.
Ví dụ 3: Khối tứ diện $ABCD$ có $AB=5,CD=sqrt{10},AC=2sqrt{2},BD=3sqrt{3},AD=sqrt{22},BC=sqrt{13}$ có thể tích bằng
A. $20.$
B. $5.$
C. $15.$
D. $10.$
Giải. Tứ diện này có độ dài tất cả các cạnh ta tính các góc tại một đỉnh rồi áp dụng công thức thể tích khối tứ diện dựa trên 3 góc xuất phát từ cùng 1 đỉnh:
Có $left{ begin{gathered}hfill cos widehat{BAD}=dfrac{A{{B}^{2}}+A{{D}^{2}}-B{{D}^{2}}}{2AB.AD}=sqrt{dfrac{2}{11}} \ hfill cos widehat{DAC}=dfrac{A{{D}^{2}}+A{{C}^{2}}-C{{D}^{2}}}{2AD.AC}=dfrac{5}{2sqrt{11}} \ hfill cos widehat{CAB}=dfrac{A{{C}^{2}}+A{{B}^{2}}-B{{C}^{2}}}{2AC.AB}=dfrac{1}{sqrt{2}} \ end{gathered} right..$
Vì vậy ${{V}_{ABCD}}=dfrac{1}{6}.5.2sqrt{2}.sqrt{22}sqrt{1+2sqrt{dfrac{2}{11}}dfrac{5}{2sqrt{11}}dfrac{1}{sqrt{2}}-{{left( sqrt{dfrac{2}{11}} right)}^{2}}-{{left( dfrac{5}{2sqrt{11}} right)}^{2}}-{{left( dfrac{1}{sqrt{2}} right)}^{2}}}=5.$
Chọn đáp án B.
