Công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Trong hình học ko gian Oxyz, ta với nhiều cách để tính được khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng. Tuy nhiên, nếu đề cho biết tọa độ Một điểm và phương trình Một mặt phẳng thì ta nên tiêu dùng công thức dưới đây sẽ cho kết quả nhanh và chuẩn xác.

Cơ sở vật chất lý thuyết

Trong ko gian Oxyz với điểm P(a; b; c) ko thuộc mặt phẳng (α), biết rằng mặt phẳng này với phương trình (α): Ax + By + Cz + D = 0. Để tính khoảng cách từ điểm P(a; b; c) tới mặt phẳng (α) ta sử dụng công thức:

d(P, (α)) = $frac{{left| {a.A + b.B + c.C + D} right|}}{{sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}$

Bài tập với lời giải

Bài tập 1.Trong ko gian với mặt phẳng (α): x – 2y + 3z – 4 = 0. Hãy tìm khoảng cách từ P(1; 1; 1) tới mặt phẳng (α)?

Hướng dẫn giải

Vận dụng công thức tính khoảng cách ở trên: d(P, (α)) = $frac{{left| {1.1 + 1.left( { – 2} right) + 1.left( 3 right) – 4} right|}}{{sqrt {{1^2} + {{left( { – 2} right)}^2} + {3^2}} }} = frac{{sqrt {14} }}{7}$

Kết luận: d(P, (α)) = $frac{{sqrt {14} }}{7}$

Article post on: nongdanmo.com

Bài tập 2. Cho mặt phẳng (α): x + y + z – 9 = 0. Một điểm P nằm trên trục tọa độ Oz thuộc hệ trục Oxyz, cách (α) là 5. Hãy tìm tọa độ của M?

Hướng dẫn giải

Vì P thuộc Oz nên nó với tọa độ là P( 0; 0; z).

Theo công thức khoảng cách ở trên: d(P, (α)) = 5

$5 = frac{{left| {1.0 + 1.0 + 1.z – 9} right|}}{{sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} Leftrightarrow z = 5sqrt 3 + 9$

Source: nongdanmo.com

Kế luận: P( 0; 0; $5sqrt 3 + 9$)

Bài tập 3. Hãy tính khoảng cách từ gốc tọa độ O của hệ trục Oxyz tới mặt phẳng (Q): 2x – 3y – 5z + 2 = 0

Hướng dẫn giải

Gốc tọa độ của hệ trục Oxyz với tọa độ O(0; 0; 0)

Vận dụng công thức tính khoảng cách ở trên: d(O, (Q)) = $frac{{left| {2.0 + left( { – 3} right).0 + left( { – 5} right).0 + 2} right|}}{{sqrt {{2^2} + {{left( { – 3} right)}^2} + {{left( { – 5} right)}^2}} }} = frac{{sqrt {38} }}{{19}}$

Via @: nongdanmo.com

Bài tập 4. Một mặt phẳng (α): – x + 2y + 3z – 4 = 0. Biết khoảng cách từ mp (α) tới P thuộc trục Ox là 2. Hãy xác định tọa độ điểm P.

Hướng dẫn giải

Vì P thuộc Ox nên nó với tọa độ P(x; 0; 0)

Theo đề bài: d(P, (α)) = 2

Vận dụng công thức tính khoảng cách: 2 = $frac{{left| {left( { – 1} right).x + 2.0 + 3.0 – 4} right|}}{{sqrt {{{left( { – 1} right)}^2} + {2^2} + {3^2}} }} Leftrightarrow x = 2sqrt {14} – 4$

Vậy P( $2sqrt {14} – 4$; 0; 0)

Bài viết khoảng cách từ Một điểm tới mặt phẳng tạm ngừng ở đây. Với mong muốn mỗi bài viết sẽ giúp bạn hiểu và vận dụng thành thục công thức nên nếu còn thắc mắc hay góp ý hãy để lại và Toanhoc.org sẽ giúp bạn khắc phục.

Article post on: nongdanmo.com

Recommended For You

About the Author: Bảo